金版教程一轮复习物理（创新版）第20讲常见的圆周运动动力学模型能力命题点一水平面内的圆周运动1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2几种典型的运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯(以规定速度行驶)圆锥摆飞车走壁如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT(sin370.6，cos370.8, g取10 m/s2，结果可用根式表示)。求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？解析(1)小球刚好离开锥面时，小球受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanmlsin解得0 rad/s。(2)当细线与竖直方向成60角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan60m2lsin60解得 2 rad/s。答案(1) rad/s(2)2 rad/s求解圆周运动问题的“一、二、三、四”1(2019北京期末)(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是()A球A的线速度必定大于球B的线速度B球A的角速度必定等于球B的角速度C球A的运动周期必定小于球B的运动周期D球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力答案BCD解析以A为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当向心力，设圆锥筒的锥角为，则FN，Fnmm2rmr，A、B质量相等，A做圆周运动的半径大于B做圆周运动的半径，所以球A的线速度必定大于球B的线速度，球A的角速度必定小于球B的角速度，球A的运动周期必定大于球B的运动周期，球A对筒壁的压力必定等于球B对筒壁的压力，A正确，B、C、D错误。2(2019北京期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为v，则()A若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨B若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨C若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨D若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力答案A解析如图所示为火车车轮在转弯处的受力示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为v，则当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心运动的趋势，故其外侧车轮轮缘会与外轨相互挤压，A正确；当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有近心运动的趋势，故其内侧车轮轮缘会与内轨相互挤压，B错误；当火车以速度v通过此弯道时，火车重力与轨道支持力的合力恰好提供向心力，内外轨都无压力，故C错误；设轨道所在斜面的倾角为，当火车以速度v通过此弯道时，由受力可知，Ncosmg，解得：N，所以火车对轨道的压力大于火车的重力，故D错误。能力命题点二竖直面内的圆周运动1概述竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅改变速度的方向，还改变速度的大小，所以一般不研究任意位置的情况，常常研究的是特殊的位置最高点、最低点和与圆心等高的位置。竖直平面内的圆周运动一般可以分为两类：(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。2竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下或等于零的弹力除重力外，物体可能受到向下、等于零或向上的弹力受力示意图力学方程mgFTmmgFNm临界特征FT0，即mgm，即vminv0时F向0，即FNmgv的意义物体能否过最高点的临界速度FN表现为拉力还是支持力的临界速度过最高点的条件最高点的速度v最高点的速度v0过最低点受力分析FTmgm，轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件FTmgm，存在对杆拉力或对管压力最大值问题注：汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况，此时mgFNm，过最高点的临界条件是FN0时，v。模型1轻绳模型例1如图所示，一质量为m0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？解析(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mgF1m由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F10联立式得v代入数值得v2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。(2)对小球，由牛顿第二定律得mgF2m将v24 m/s代入得，F215 N。(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3mgm又F345 N联立式得v34 m/s，所以小球的速度不能超过4 m/s。答案(1)2 m/s(2)15 N(3)4 m/s模型2轻杆模型例2如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是()A小球通过最高点时速度可能小于B小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零C小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大D小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小解析小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mgFm，则得v，故A正确。当小球通过最高点的速度为时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故B错误。在最高点轻杆对小球的作用力可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有mgFm，则知v越大，F越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大；小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力时，有mgFm，则知v越大，F越小，即随小球速度的增大，杆的支持力减小，故C、D错误。答案A解题技巧(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。(2)确定临界点：抓住绳模型中在最高点v及杆模型中在最高点v0这两个临界条件。(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合F向。(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。1. 如图所示，长均为L的两根轻绳一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为()Amg Bmg C3mg D2mg答案A解析设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为30，则有rLcosL。根据题述，小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mgm；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosmgm，联立解得Fmg，A正确。2. 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是()A小球通过最高点时的最小速度vminB小球通过最高点时的最小速度vminC小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案C解析因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度为零，故A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外，小球的向心力沿半径指向圆心，小球与外壁一定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，当速度较小时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力，此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故D错误。能力命题点三水平面、斜面内的圆周运动临界问题1水平面内的圆周运动的临界问题如下图，在水平面内做圆周运动的物体，提供向心力的可能是绳子的拉力、摩擦力等及它们的合力或分力。当角速度变化时，物体有远离圆心或向着圆心运动的趋势，从而出现临界情况。当角速度增大时，图a中绳子BC可能由松驰变为绷紧，甚至断裂；图b斜面的支持力变为零时物体将脱离斜面；图c静摩擦力达到最大时木块开始滑动；图c、图d木块或小球受到的静摩擦力的方向可能发生变化。对于这类动态变化的问题，关键是找到临界状态，作受力分析。2四种临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN0。(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT0。(4)运动趋势方向变化的临界条件：静摩擦力为0。3斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和临界条件也不相同。(1)静摩擦力控制下的圆周运动(2)轻绳控制下的圆周运动(3)轻杆控制下的圆周运动由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。