张量分析与场论 第一章 张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。1.1点积、矢量分量及记号我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移，力等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设，为矢量，则的运算如右图所示。在理论力学中我们还知道，如表示某一点的位移，表示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为 其中、|分别表示矢量、的大小，表示矢量与矢量之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。点积的定义：设，为两个任意矢量，设|，|分别为其大小（也称为模）。为这两个矢量之间的夹角，则与的点积为 由点积定义可知，点积具有交换律，即=。可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如=+，则 或可写为 如果则称垂直于，记为。由点积的定义可知，。如|=1则称为单位矢量。以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为（,），其大小为1，方向互相垂直，即有如下的性质：，称为基矢量或坐标架。空间的任意矢量可以用平行四边形法则表示为三个基矢量的和，即其中表示在方向上的投影，即，称为在坐标下的分量。矢量的表示方法：实体记法；分量记法（，）或即我们有 可以用分量记法表示矢量的加、减法和点积，设，是矢量，即有，则矢量可以表示为 则的分量为利用点积的分配率我们可得， =为了进一步简化写法，这里我们引入求和规则：若某个指标在一项中重复出现一次，则表示这个指标应从1到3求和。这个约定就是著名的爱因斯坦（Einstein）约定求和。按照约定求和，一个矢量可写为 两个矢量的和可以表示为 点积可以表示为 考虑到到的线性变换可写为 用约定求和的写法有 在一项中指标相同的要求和，求和的指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。在点积的表达式中指标i为哑指标。在线性变换的表达中指标i为自由指标，等号右边第一项的指标j为哑指标。设微元矢量为，则微元弧长为 一个函数的微分可以写为 这里我们引进一个算子 称为哈米顿算子，这个算子兼有导数和矢量的两重作用。这样一个函数的微分可以写为 其中一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能与其它指标的名称相同。如线性变换这个表达式中有三项，其中第二项有哑指标j，可以换成k，或l，但不能换成i，因为这一项中i为自由指标。在这三项中都有自由指标i，要换必须同时换，如换成k，即可写为，但不能换成j，因为第二项中j为哑指标。一般的情况下由推不出。只有在任意的上成立时，才能推得出该式。在引入坐标系时，要求基矢量有下列关系 ，及这一性质可用记号来表示，令 由定义可知具有对称性，即=。我们有如下关系： ， 如用矩阵的表示方法，可以表示为一个33的单位矩阵，即 由的定义，根据约定求和的规定，我们有 因此，我们有 由于对称性，上式也可写为 对点积运算可以按如下形式进行 其中用到了上边的推导的结果，即。这与前边点积可写为=的结果一致。由此可以看出，的作用是使该式中的指标j变为指标i，也称为换标符号。利用的换标作用，一个函数的微分可以进行如下的推导利用及约定求和使得推导变得很方便了。1.2记号、矢积（叉乘）、关系在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号，由的定义可知；。可以用来表示三阶行列式 =或=也可以写成在直角坐标系中基矢量的矢积（叉乘）定义如下：设（）构成右手系，则定义；可以验证，矢积可以用记号来表示 例如例如容易把矢积推广到一般矢量的情况，设；叉乘仍为一个矢量 的分量为，例如中不为零的项只有和，因此 很容易证明的大小等于，组成的平行四边形的面积。由行列式的性质可知，利用上式可以证明，因为 同理也可以证明。总之，的大小等于，组成的平行四边形的面积，方向与，组成的平面垂直，并与，构成右手系。设，为任意三矢量，定义混合积为由点积的定义有其中表示平行四边形的面积，表示与间的交角。若cos0，即，构成右手系，则为六面体的高，所以混合积表示，三个矢量组成的平行六面体的体积，即若，构成右手系，有由于和都表示，三个矢量组成的平行六面体的体积，因此由=下面我们用指标的方法证明该式 根据混合积的性质，由于三个矢量的混合积只与三个矢量的次序有关，而与哪两个进行叉乘，哪两个进行点积没有关系，有 下面证明间的恒等式由混合积和行列式之间的关系，我们可以推出和的关系。因为 令；，则上式可写为 由的性质，即得利用行列式转置及的对称性可得因此可以推出第一关系式 若上式中令l=i，则可以得到第二关系式 由上式，令指标m=j可得 再令指标n=k有 利用第二关系式的关系给出 这表示了矢积与点乘之间关系。1.3、坐标变换我们已经了解了点积（内积）、矢积（叉乘）的性质，在用分量表示一个矢量，我们选择了三个相互正交的单位矢量组成了坐标架。这样，一个用实体记法表示的矢量可以用分量的方式来表示。一般而论，人们可以根据方便和需要选取适合的坐标架研究问题，而张量分析就是要研究在不同的坐标系下，同一个物理规律的数学表述有什么相同的地方、有什麽不同的地方，以及它们之间的转换关系。为此我们将首先研究一个物理量在不同坐标系下的转换关系。作为初步，本课程只研究直角坐标系的情况，即基矢量满足的坐标系。设与是新旧两个坐标系的基矢量。因为也是一个矢量，可以在旧坐标系的基矢量下分解，设用点乘上式可得即 反之，旧坐标也可在新坐标下分解，由上式可知有关系 由于，是正交基矢量，因此有 所以有 由此可知，这表明是正交矩阵。因此有 又由 即具有如下关系 这一关系称为互逆关系，有了新旧基矢量之间的转换关系，就可以得到在不同坐标系下一个矢量分量的转换关系。设为一个矢量，在旧坐标系下的分量为，在新坐标系下的分量为。由矢量是一物理量，不随坐标系而变换可得； 在新旧基矢量之间的转换关系得： 上式给出了一个矢量在不同坐标系中其分量的关系，由这样的转换关系可以给出矢量的另一定义，即：对于每一个直角坐标系都有三个量，它们按关系 变换到另一个直角坐标系中的三个量，这样的三个量的集合就定义了一个量称为矢量。以往对矢量的定义是建立在几何上的，而现在这个定义则完全脱离了几何意义。下面考虑一个矢量的大小。设空间两点间的位移为，是一个矢量，在新、旧坐标系中的表达式为，。则这两点间距离s为这就表明象距离这样一类量，在新旧坐标系中其表达式是不变的，是不依赖于坐标系的变换的，即 象距离这一类量我们称为标量，类似矢量我们可以利用这一性质给出标量的一个定义，即：对于每一个直角坐标系都有一个量，在不同的坐标系下满足即保持其值不变。这就定义了一个标量。这里我们利用一个量在坐标变换下的变换形式定义了矢量和标量，这种定义脱离了原来的几何意义，将有利于向高阶高维推广。下面我们将利用这样的形式来统一的定义张量。1.4、并矢、张量引入一种新的矢量间的运算，称为并矢。设，为矢量，在坐标下它们的分量分别为，。它们把，并矢的分量记为。如把，的并矢记为，则有 的分量为 这样的积是有一定的物理意义的，但目前我们只是形式地这样给出，而并不做任何的物理直观的解释。在今后的学习中，我们将用实例来说明并矢的意义。对并矢来说一般地讲 基矢量分别作并矢，可以有九种结果，有时简写为 现在考察以上并矢的九个分量在坐标变换下是怎样变换的。设有两个坐标系，矢量，在下的分量分别为，在下的分量为 ，。由于，都是矢量，则，。设在新旧两个坐标系下的分量为，。则 与上一节对矢量、标量给出的新定义类似，这一新、旧坐标系间的变换关系可以定义一个新的量称为张量。张量的定义：对于每一个直角坐标系都有九个量，这些量按关系 从一个坐标系变换到另一个坐标系，这样的九个量的集合定义一个新的量称为张量。一个张量所表示的物理实质，不可能向矢量那样能形象地用一有向线段表示出来，因为一个张量有