1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为，的线性弹簧如图T1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度为：2)它们串联时的总刚度满足：解：1)对系统施加力P，则两个弹簧的变形相同为，但受力不同，分别为：由力的平衡有：故等效刚度为：2)对系统施加力P，则两个弹簧的变形为：，弹簧的总变形为：故等效刚度为：1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为，。解：对系统施加扭矩T，则两轴的转角为：系统的总转角为：，故等效刚度为：1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为，试计算总粘性阻尼系数1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。解：1)对系统施加力P，则两个减振器的速度同为，受力分别为：由力的平衡有：故等效刚度为：2)对系统施加力P，则两个减振器的速度为：，系统的总速度为：故等效刚度为：1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。解：简谐运动的，振幅为；即：所以：1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz，并具有最大加速度50g，求振动的振幅。解：由 可知： 1.8 证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即：，并讨论,，三种特例。证明：其中：1)当时：；2)当时：；3)当时：；1.9 把复数4+5i表示为指数形式。解：，其中：，1.10 证明：一个复向量用i相乘，等于把它旋转。证明：1.11 证明：梯度算子是线性微分算子，即这里，a,b是与x、y、z无关的常数。1.12 求函数的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系： ，这里n为正整数； 为有理数； 为无理数。1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。图 T1.131.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律，并与前题比较。图 T1.142.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为，弹簧刚度为，则：，即：取系统静平衡位置为原点，系统运动方程为： （参考教材P14）解得：2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长所以：取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：其中，初始条件： （参考教材P14）所以系统的响应为：弹簧力为：因此：振幅为0.2m、周期为、弹簧力最大值为1N。2.3 重物悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物从高度为处自由落到上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。解：取系统的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有：由可知：即：系统的初始条件为： （能量守恒得：）因此系统的响应为：其中:即：2.4 一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有转角时，系统有：由可知：即： （rad/s）2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。2.6 求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且。解：取的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有： （其中：）由可知：即：（rad/s）， （s）2.7 如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解：设物体重量，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则： 设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：，即：记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为，则：（或者理解为：，转动和平动的动能）由可知：即：（rad/s） 2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得：，即：有初始条件为：所以浮子的响应为：2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。解：两轮的质量分别为，因此轮的半径比为：由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：取系统静平衡时，则有： 由可知：即：（rad/s）， （s） 2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时，则当轮子有转角时，系统有： 由可知：即：（rad/s），故 （s）2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，如果在m上附加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加，求当地的重力加速度。解：2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。 解：取系统的摆角为坐标，静平衡时（a）若不计杆重，系统作微振动，则有： 由可知：即：（rad/s）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 由可知：即：（rad/s）（b）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 即：（rad/s）（c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 即：（rad/s）2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。答案：系统的运动微分方程2.14 一台电机重470N，转速为1430rmin，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI1.66105Nm2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为r的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。 wL3/(3EI)2.16 求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。解：假设U形管内液柱长，截面积为，密度为，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降时，有： 由可知：即： （rad/s），（s）217 水箱l与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率。解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降时，右边液面上升，液体在水箱l与2和细管中的速度分别为，则有： （由于：） 由可知：即： （rad/s）2.18 如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=m2Av)。2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示，(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为；时刻的位移为；时刻的位移为；则：所以有：，即：当振幅衰减到50%时，即：1)当 时，；要11个循环；2)当 时，；要2个循环；3)当 时，；要1个循环；2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02105Nm，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：系统的阻尼比 ：系统不振动条件为：，即：物体在平衡位置以初速度开始运动，即初始条件为：此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当时：其中：2) 当时：，其中：即：3) 当时：其中：，即：2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105Nm的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m，试求：炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。2.23 设系统阻尼比，试按比例画出在0.5、1.0、2.0三种情况下微分方程的向量关系图。2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当、=5rad/s时系统的品质因子和带宽。2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数，v是运动速度)，激励为，当即共振时，测得振动的振幅为X，求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为(N)，系统在周期T0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。解：由时共振可知，系统固有频率为：当时，已知响应振幅：，（参教材P30）所以： 2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即求其等效阻尼系数和共振时的振