第一章 解三角形测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,a=4,b=4,A=30,则角B等于()A.30B.30或150C.60D.60或120解析:根据正弦定理得,sin B=.ba,BA=30,B=60或120.答案:D2.在ABC中,已知b=,c=1,B=45,则a等于()A.B.C.+1D.3-解析:由b2=a2+c2-2accos B,得2=a2+1-2acos 45,解得a=或a=(舍去).答案:B3.如图,在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30,60,则塔高为()A.米B.米C.米D.米解析:由题意,可知BAC=30,OAC=ACB=30,AC=.又B=120,在ABC中,由正弦定理,得BC=(米).答案:A4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=()A.B.-C.D.解析:由正弦定理得,将8b=5c及C=2B代入得,化简得,则cos B=.所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=2-1=,故选A.答案:A5.在ABC中,b=asin C,c=acos B,则ABC一定是()A.等腰三角形,但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形,但不是等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由c=acos B得,c=a,a2=b2+c2,ABC为直角三角形,b=asin C=a=c,ABC是等腰直角三角形.答案:D6.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,a+c=3,cos B=,则等于()A.B.-C.3D.-3解析:由余弦定理得cos B=,解得b2=2,ac=b2=2.=accos(-B)=-2cos B=-.答案:B7.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于()A.30B.60C.120D.150解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化为c=2b,所以cos A=,所以A=30.答案:A8.已知ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为()A.4B.5C.5D.6解析:SABC=acsin B,c=4.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=25,b=5.由正弦定理2R=5(R为ABC外接圆的半径).答案:C9.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.1xB.xC.1x2D.2x2解析:由题意,x应满足条件解得2x0),则a2+b2=c2,新三角形的三边分别为a+d,b+d,c+d,设它们所对的角分别为A,B,C.则cos C=.(a+d)2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)d0.cos C0,C为锐角.又C是最大角,所以新的三角形是锐角三角形.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=.解析:b+c=7,c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-22(7-b),解得b=4.答案:412.在ABC中,BC=1,B=,当ABC的面积等于时,sin C=.解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则ABC的面积S=acsin B=,解得c=4,所以b=.所以cos C=-.所以sin C=.答案:13.在ABC中,BC=3,AB=2,且+1),则A=.解析:由a=3,c=2,且,知b=-1.cos A=-.A=120.答案:12014.在ABC中,a=14,A=60,bc=85,则该三角形的面积为.解析:设另两边长分别为8x和5x,则cos 60=,解得x=2,所以b=16,c=10.SABC=bcsin A=1610sin 60=40.答案:4015.一艘船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60方向,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为 km.解析:如图,由已知条件,得AC=60 km,BAC=30,ACB=105,ABC=45.由正弦定理得,即BC=sinBAC=sin 30=30(km).答案:30三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.解:由B=-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C.由已知得sin Asin C=.由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.由得sin2C=,于是sin C=-(舍去)或sin C=.又a=2c,所以C=.17.(6分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由bsin A=acos B及正弦定理,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.(2)由sin C=2sin A及,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.18.(6分)在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A.(1)确定角C的大小;(2)若c=,且ABC的面积为,求a+b的值.解:(1)由a=2csin A及正弦定理,得.sin A0,sin C=.ABC是锐角三角形,C=.(2)c=,C=,由面积公式得absin,即ab=6.由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,即a2+b2-ab=7.由变形得(a+b)2=3ab+7.将代入得(a+b)2=25,故a+b=5.19.(7分)在海港A正东39 n mile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15 n mile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6 n mile/h的速度向北偏西30的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60方向,问此时甲、丙两船相距多远?解:设在行驶t h后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,依题意得:CD2=CB2+BD2-2CBBDcos 60=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1 404t+1 521=351(t-2)2+117,所以,当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,作DFAB,则BDF=30,DBE=120,所以BDE=30,DEB=180-120-30=30,故BDE为等腰三角形.所以,BE=BD=6t=62=12(n mile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-152=21(n mile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21海里.- 1 -