10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法规acac；bdbdacadadbdbcbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2. 分式的加减法（ 1）通分的依照是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的要点，它的法规是：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（ 2）同分母的分式加减法法规ababccc（ 3）异分母的分式加减法法规是先通分，变为同分母的分式，尔后再加减。3. 分式乘方的法规a)nan(bn（n为正整数）b4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算序次及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，依照题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（ 3）运算中及时约分、化简；（ 4）注意运算律的正确使用；（ 5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算【分类解析】例1：计算x2x2x2x6的结果是（）x2x6x2x2x1B.x1C.x21x21A.3x9x29D.23xx解析：原式(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x2)(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x1)(x1)(x3)(x3)x21x29应选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：已知abc1，求abcac的值。aba1bcb1c1解析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc代替待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解：原式aababca1abcabaabcabcababaababcaba11abaa1abaab1aba11例3：已知：2m5n0，求下式的值：(1nm)(1nm)mmnmmn解析：此题先化简，尔后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解：(1nm)(1nm)mmnmmnm(mn)n(mn)mm(mn)n(mn)mm(mn)m(mn)nm(mn)m(mn)nm nmn2m5n0m5n25nn737故原式25nn3n22n2例4：已知a、b、c为实数，且ab1，bc1，ca1，那么abcab3bc4ca5abbcca的值是多少？解析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不简单求解，可取倒数，进行简化。解：由已知条件得：113，114，115111abbcca因此2(12ab)c1116即bca又因为abbcca1116abccba因此abc1bcca6abx31x21x24例5：化简：(2x)x1x2(x31)(x2)(x21)(x2)(x2)(x2)解一：原式(x2)(x2)x1x43x32x24x1(x4x2)3(x31)(x21)x1x2(x1)(x1)3(x1)(x2x1)(x1)(x1)(x1)(x3x23x2x13x3x1)x1x32x24x4(x1)(x2x1)(x2)(x2)(x1)(x1)(x2)(x2)解二：原式x2x1x2x1(x2x1)(x2)(x1)(x2)x3x2x2x22x2x23x2x32x24x4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，防备了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特点，选择合适的方法。例1、计算：nmm2n212nm24mn4n2m解：原式1mn(m2n)2m2n(mn)(mn)1m2nmnmnm2nmn3nmn说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例2、已知：M2xyy2xy，则M_。x2y2x2y2xy2xyy2xy解：y2xyx22xyy2x22xyy2x2y2x2Mx2y2x2y2Mx2说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。中考点拨：例1：计算：1111(ab)2(ab)2(abab)解一：原式(ab)2(ab)2abab(ab)2(ab)2(ab)(ab)4ab(ab)(ab)(ab)2(ab)22b2a(ab)(ab)2a22ab解二：原式(111111)()()abababababab11abababab2a(ab)(ab)a2b2说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度如数家珍。例2：若a21A.2解：原式b23ab，则(12b32b)的值等于（）a3b3)(1abB.0C.12D.3a3b32b3ab2ba3b3aba3b3aba3b3ab(ab)(a2abb2)ab(ab)(a2abb2)aba2abb23ababa2abb23abab2ab14ab2应选A【实战模拟】1.已知：ab2，ab5ab），则的值等于（ba2B.14C.A.5512.已知x216x10，求x3x3的值。19245D.53.计算：1111x23x2x25x6x27x12x29x204.若A999911111，B999922221，试比较A与B的大小。9999222219999333315.已知：abc0，abc8111。，求证：b0ac【试题答案】aba2b21. 解：baabab2，ab5a2b2(ab)22ab14ab1414ba55应选B