一、问题的提出 我国著名数学家姜伯驹院士曾说过：“随着科学技术的发展，数学课程要不断改革，其中以几何课程的改革问题争议最多，难度最大，中学如此，大学也如此，中国如此，外国也如此。数学本是几何、代数、分析有机地结合的整体，人们往往看重代数的、分析的方法，而容易忽略几何的观念。其实，无论在数学史上，还是在当代数学中，数学思想的飞跃和突破常常与几何学联系在一起的。” 二十一世纪，高等师范院校的数学教育正进入新的一轮改革高潮，在诸多改革中，教学改革是核心，作为数学的三大组成部分的几何学，它的教学改革一直是数学教育工作者十分关注的热点，又是个十分敏感的重大课题。高等师范院校的解析几何课程如何进行改革?关键在于改革后的教学内容和课程体系以及改革后的教学方法和教学手段、教学评价体系，如何体现先进性与师范性的统一，如何做到既有学术性之新，又有师范性之新，跟上现代数学发展的步伐。 从目前国内外的几何课程改革的现状和发展趋势来看，许多综合性大学数学专业改革的基本思路是：以现代数学观点和语言统一处理有关代数与几何的内容，力求将线性代数与解析几何有机地融为一体，与分析的内容相互渗透，不强调几何学开成“纯”的课程，致力于教学内容的现代化，而且在看重代数、分析的方法的同时，没有忽略几何的观念。 考虑到高等师范数学教育专业，培养是未来的中等学校数学教师，有特定的培养目标，解析几何的课程改革，一方面必须用近代数学的思想、观点与方法，致力于教学内容的现代化，另一方面必须将这些先进的现代化知识转化为基础教育所用，体现师范性。 二、解析几何课程教学改革展望和设想 21 建立新的几何课程体系 国家教委于1999年10月在昆明召开会议，制定了数学与应用数学专业教学规范(以下简称教学规范)，规定课程结构包括公共基础课(由国家教委统一规定)，专业基础课(共七门)和专业课，其中七门基础课分为两类，一类称为重要基础课程，共有三门：数学分析、高等代数、解析几何：另一类称为“基础课”共有四门：物理学(含实验)、概率论、计算机基础、数学建模。特别值得注意的是：教学规范明确规定了解析几何课程的主要内容为：向量代数、空间直线和平面、常见曲面、二次曲线和二次曲面、正交变换和仿射变换，射影几何初步，由此可见，解析几何的内容不能过于贫乏，不能局限于欧氏几何，必须扩大广大学生的视野，架起通向近代几何的桥梁，及时传达现代数学思想，数学方法和发展精神。 但从目前情况看，几何学在数学教育中的地位有被削弱下滑的趋势，原来在高师院校二年级开设的高等几何从数学专业的教学计划中去掉，微分几何、拓朴学的课时大大减小，对于这种情况，我们认为不仅不利于师范性几何空间观念的培养和几何空间想象能力的提高，而且几何修养的不足也将成为学生进一步掌握现代数学的一大障碍。因此，我们在制定教学计划时，几何学应当成为首选和重点内容，充实解析几何内容，增加微分几何，的课时，开设拓扑学、微分流形、黎曼几何初步选修课。 22 整合解析几何的内容，体现先进性与师范性的统一 目前空间解析几何的基本内容是“向量代数”，“直线和平面”、“二次曲面”等，学生用36-40学时接受这些内容困难不大，但学完后，对什么是几何仍没有弄明白，对于几何的客观存在性，“几何量”与坐标变换的无关性，几何图形变换(变换是现实世界处理问题的主要基础)的动态性质等等基本观念，缺乏理性的认识，而这些基本观念的建立，对于学习现代数学(如流形论)和现代物理(如广义相对论)都是至关重要的。因此，有必要将解析几何内容现代化，把变换群与几何学紧密的联系在一起，进一步加强同线性代数的内容和方法的联系，即不仅要体现线性代数作为解析几何的主要工具的作用，而且更要具体地给线性代数提供各种几何背景和几何解释，更系统地阅述解析几何四种最基本的方法：向量方法、坐标方法，坐标变换方法和点变换方法，发展几何空间概念，即在解析几何课程中既要讨论图形的欧氏性质，还要进一步讨论图形的仿射性质和射影性质。 23 加强课程教学的启发式，重视创新精神和独立获得知识的能力 21世纪的解析几何，不仅要内容现代化，而且教学方法也要新，对既定的教学内容要采用启发式教学，采用既有分解又有综合，既有特殊到一般，又有一般到特殊的表达和叙述方法，使学生从具体到抽象的认识过程中，上一个新台阶，产生一个新的质的飞跃，全面贯彻解析几何的数学思想和数学方法，在要领的语言上和看问题的观念上与现代数学接轨。 实现“启发式”教学，要求教师在教学中开发学生的理解能力，帮助学生发现信息，选择信息，加工信息，掌握知识，更新知识，要求他们“学会”，更要注意培养他们“会学”。 实现“启发式”教学，教师在课堂上应当“精解”，不要讲得过多、过细、过全，要淡化繁琐的数学推导和数学运算，强化来龙去脉与思维过程，突出分析思路与分析方法。 实现“启发性”教学，教师在课堂上要引导学生积极思维、独立思考，让学生直觉地感受到这些重要概念的形成，重要定理的建立， 要留给学生独立思考发现问题的空间，提高他们的创新能力。 24 加快教学手段的改革 解析几何应较其它课早一些进行计算机辅助教学。其实，解析几何为人们提供了把图形数字化，把数字信息用图形显示的数学原理，数字化高清晰度的电视都广泛地应用了几何学的原理，要把三维的物体在二维的屏幕上显示出来，则必须用投影变换(射影变换)，为此，配合新的解析几何课程，开发计算机辅助教学软件是当务之急。 制作多媒体教学课件，融图、文、声、动画于一体，将几何图形生动形象地展现在教学屏幕上，这不仅可以加大课堂信息量，节省学时，而且能增强课堂教学的直观性、启发性，有利于提高学生的几何空间的想象能力，提高课程的教学质量。 从能力培养方面考虑，应该让学生尽快接触应用软件，提高学生的动手能力。训练学生的实际能力，使学生在新的基础上有所突破。 教师提着单叶双曲面和马鞍面的模型去教室的日子应该过去，代之以计算机显示的各种漂亮的图形，一定会收到事半功倍的效果。 总之，教学手段的改革必将对教学方法、教学内容和课程体系的改革产生更大的影响，推动教学内容和课程体系的改革取得实质性的进展。