高考数学精品复习资料 2019.5(三)函数与导数(1)1(20xx天津)设a，bR，|a|1.已知函数f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数yg(x)和yex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线求证：f(x)在xx0处的导数等于0；若关于x的不等式g(x)ex在区间x01，x01上恒成立，求b的取值范围(1)解由f(x)x36x23a(a4)xb，可得f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a)令f(x)0，解得xa或x4a.由|a|1，得a0，所以f(x)1.又因为f(x0)1，f(x0)0，所以x0为f(x)的极大值点，由(1)知，x0a.另一方面，由于|a|1，故a10，又由h0，可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，都有f(x)f0.(1)用含a的表达式表示b；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x10；(3)在(2)的条件下，判断yf(x)零点的个数，并说明理由解(1)根据题意，令x1，可得f(1)f(1)0，所以f(1)ab0，经验证，可得当ab时，对任意x0，都有f(x)f0，所以ba.(2)由(1)可知，f(x)ln xax，且x0，所以f(x)a，令g(x)ax2xa，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则yg(x)有两个不相等的正实数根，所以或解得0a或无解，所以a的取值范围为，可得0.由题意知，fln 2ln aln 2，令h(x)2ln xln 2，则h(x).而当x时，3x44x43x44(1x)0，即h(x)h2ln 24ln 23ln e0.即当0a0.(3)因为f(x)a，g(x)ax2xa.令f(x)0，得x1，x2.由(2)知，当0a0，g(0)a1.又x1x21，可得x11，此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减，所以yf(x)最多只有三个不同的零点又因为f(1)0，所以f(x)在(x1,1)上单调递增，即当xx1,1)时，f(x)0且0，所以(x1,1)，即(0，x1)，所以x0，使得f(x0)0.由0x0x11，又ff(x0)0，f(1)0，所以f(x)恰有三个不同的零点：x0,1，.综上所述，yf(x)恰有三个不同的零点4(20xx湖南省衡阳市联考)已知函数f(x)exsin x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果对于任意的x，f(x)kx恒成立，求实数k的取值范围；(3)设函数F(x)f(x)excos x，x，过点M作函数F(x)图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大的顺序构成数列xn，求数列xn的所有项之和S.解(1)f(x)ex(sin xcos x)exsin.f(x)的递增区间为 (kZ)；递减区间为 (kZ)(2)令g(x)f(x)kxexsin xkx，要使f(x)kx恒成立，只需当x时，g(x)min0，g(x)ex(sin xcos x)k，令h(x)ex(sin xcos x)，则h(x)2excos x0对x恒成立，h(x)在上是增函数，则h(x)1，e当k1时，g(x)0恒成立，g(x)在上为增函数，g(x)ming(0)0，k1满足题意；当1ke时，g(x)0在上有实根x0，h(x)在上是增函数，则当x0，x0)时，g(x)0，g(x0)g(0)0不符合题意；当ke时，g(x)0恒成立，g(x)在上为减函数，g(x)g(0)0不符合题意k1，即k(，1(3)F(x)f(x)excos xex(sin xcos x)，F(x)2excos x，设切点坐标为(x0，(sin x0cos x0)，则切线斜率为F(x0)2cos x0，从而切线方程为y(sin x0cos x0)2cos x0(xx0)，(sin x0cos x0)2cos x0tan x02，令y1tan x，y22，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于x对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列xn的项也关于x成对出现，又在上共有1 008对，每对和为.S1 008.