2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在题中的横线上1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_.2.设的内角的对边分别为，且满足，则的值是_.3.设，则的最大值是_.4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_.5设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是_.6.设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.7满足的所有正整数的和是_.8某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第1周使用种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤9（本小题满分16分）已知函数（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若，且存在，使得，求的取值范围10（本小题满分分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由11（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（1）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。二、（本题满分40分）试证明：集合满足（1）对每个，及，若，则一定不是的倍数；（2）对每个（其中表示在 中的补集），且，必存在，使是的倍数三、（本题满分50分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：四、（本题满分50分）设，是正整数证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于这里，表示不超过实数的最大整数2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中的横线上 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 解:方法1:设则直线的方程为即由又所以故 设的内角的对边分别为，且满足，则的值是 .解:由题设及余弦定理得,即故.设，则的最大值是 .解:不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 .解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 解:如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而,因为所以即所以,故6. 设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 解:由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是满足的所有正整数的和是 解:由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第周使用种密码，那么第周也使用种密码的概率是 （用最简分数表示）解:用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤（本小题满分分）已知函数（）若对任意，都有，求的取值范围；（）若，且存在，使得，求的取值范围解:(1)令则分对任意,恒成立的充要条件是分(2)因为所以所以分因此于是,存在,使得的充要条件是故的取值范围是分（本小题满分分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由解:(1)当时, ,由得.当时,由得或5分当时,若得或;若得;综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,110分(2)令则从而两式相减,结合得当时,由(1)知;当时,即所以或15分又所以20分（本小题满分分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（）求证：为定值；（）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹解:因为所以山的共线5分如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有(定值)10分(2)设其中则.因为所以15分由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为20分2012年全国高中数学联赛加试试题（卷）一、（本题满分分）ABMNC如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。证明：如图.连接,过点作的垂线交的延长线于点,则是的切线.因此10分因为所以20分因而是的外接圆的切线30分故所以三点共线。40分二、（本题满分分）试证明：集合满足（）对每个，及，若，则一定不是的倍数；（）对每个（其中表示在 中的补集），且，必存在，使是的倍数证明:对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则10分由于与中,一个为奇数,它不含素因子,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为,因此一定不是的倍数；20分若,且设其中为非负整数,为大于的奇数,则30分下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令消去得由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.把最小的正整数解记为则,故使是的倍数40分证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组在区间上有解即存在使是的倍数40分证法三:由于总存在使取使则存在使此时因而是的倍数40分三、（本题满分分）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：证法一:不妨设先证明:对任意正整数,都有显然, 对均成立,只有时右边取等号10分所以,只要证明当时,有即可.以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆20分所以30分由易知40分所以对时也成立.综上,对任意正整数都有.因而50分证法二: 不妨设以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;10分设是是圆上任意一点,由于20分因而,以为圆心, 为半径的圆覆盖上述个圆30分故40分所以50分四、（本题满分分）设，是正整数证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于这里，表示不超过实数的最大整数证法一:(1)对任意,有10分令则20分又令,则因此存在使得所以.30分不然一定存在使得因此这与矛盾.所以一定存在使得40分(2)假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与（1）的结论矛盾.所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立50分证法二:(1) 10分因此,当充分大时,可以大于如何一个正数,令则当时,20分因此,对于如何大于的正整数总存在使即否则,一定存在使且这样就有而矛盾.故一定存在使得30分令则故一定存在使,因此.40分这样的有无穷多个,所以数列中有无穷多项属于50分4