南京市2020届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1已知集合Ax|2x4，Bx|1x3，则AB 2若zi (i是虚数单位)是实数，则实数a的值为 3某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 5将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 6已知函数f(x)2sin(x) (其中0，)的部分图象如图所示，则f()的值为 Oxy2-2（第6题图）（第4题图）S0For i From 1 To 4 SSiEnd ForPrint S7已知数列an为等比数列若a12，且a1，a2，a32成等差数列，则an的前n项和为 8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB2b，则该双曲线的离心率为 9若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为 10已知函数f(x)g(x)f(x2)若g(x1)1，则x的取值范围为 11在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2y22上两个动点，且若A，B两点到直线l：3x4y100的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为 12若对任意ae，) (e为自然对数的底数) ，不等式xeaxb对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为 13已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足，且231，延长AP交边BC于点D若BD2DC，则的值为 14在ABC中，A，D是BC的中点若ADBC，则sinBsinC的最大值为 二、解答题:本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分14分)FEPBDCA(第15题图)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点求证：（1）EF平面PCD；（2）平面PAB平面PCD16(本小题满分14分)已知向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，函数f(x)mn（1）若f()1，x(0，)，求tan(x)的值；（2）若f()， (，)，sin，(0，)，求2的值17(本小题满分14分) 如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径8海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB20海里，tanAOB，cosAOD现一艘科考船以10海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇 （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值AOD东北B (第17题图)18(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)经过点 (2，0)和 (1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；(第18题图)AOMxyB（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率19(本小题满分16分) 已知函数f(x) (aR) ，其中e为自然对数的底数（1）若a1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a(2，4)，曲线yf(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点20(本小题满分16分) 若数列an满足n2，nN*时，an0，则称数列(nN*)为an的“L数列”（1）若a11，且an的“L数列”为，求数列an的通项公式；（2）若annk3(k0)，且an的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若an1pn1，其中p1，记an的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列cn，对任意nN*，都有cnSncn1成立，并证明你的结论南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，aR若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，2)（1）求矩阵A；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q的坐标B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值C选修45：不等式选讲已知a，b为非负实数，求证：a3b3(a2b2)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1（1）求AA1的长(第22题图)A1CABB1C1P（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并说明理由23(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n1(nN*)次若取出白球的累计次数达到n1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为Pn（1）求P1；（2）证明：Pn1Pn南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1x|1x4 22 360 410 5 6 722 8 9 102，4 116 12 2，)13 14二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分) 证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG 在PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GFBC，GFBC因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC， 2分所以GFDE，GFDE，所以四边形DEFG为平行四边形， 所以EFDG 4分又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD6分(2)因为底面ABCD为矩形，所以CDAD 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD 10分因为PA平面PAD，所以CDPA12分又因为PAPD，PD平面PCD，CD平面PCD，PDCDD，所以PA平面PCD因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD14分16(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，所以 f(x)mncos2xsin2xcos2x 2分因为f()1，所以cosx1，即cosx 又因为x(0，) ，所以x， 4分 所以tan(x)tan()2 6分(2)若f()，则cos2，即cos2因为(，)，所以2(，)，所以sin28分因为sin，(0，)，所以cos， 10分所以cos(2)cos2cossin2sin()() 12分又因为2(，)，(0，)，所以2(，2)，所以2的值为 14分17(本小题满分14分) 解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy 因为OB20，tanAOB，OA100，BEACODxy 所以点B(60，40)，且A(100，0)2分(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C， 则OC10(t2)，A