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量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题(每题3分共36分)1黑体辐射中的紫外灾难表明:CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2关于波函数 的含义,正确的是:BA. 代表微观粒子的几率密度;B. 归一化后, 代表微观粒子出现的几率密度;C. 一定是实数;D. 一定不连续。3对于偏振光通过偏振片,量子论的解释是:DA. 偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片。4对于一维的薛定谔方程,如果 是该方程的一个解,则:AA. 一定也是该方程的一个解;B. 一定不是该方程的解;C. 与 一定等价;D.无任何结论。5对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的是:CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹;B.粒子在势垒中有负的动能;C.粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。6如果以表示角动量算符,则对易运算为:BA. ihB. ihC.iD.h7如果算符 、 对易,且 =A,则:BA. 一定不是 的本征态;B. 一定是 的本征态;C.一定是 的本征态;D. 一定是 的本征态。8如果一个力学量 与 对易,则意味着:C A. 一定处于其本征态;B.一定不处于本征态;C.一定守恒;D.其本征值出现的几率会变化。9与空间平移对称性相对应的是:BA. 能量守恒;B.动量守恒;C.角动量守恒;D.宇称守恒。10如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev,则 n=5能级能量为:DA. -1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D. -0.544ev11三维各向同性谐振子,其波函数可以写为,且 l=N-2n,则在一确定的能量 (N+)h下,简并度为:BA. ;B. ;C.N(N+1);D.(N+1)(n+2)12判断自旋波函数 是什么性质:C A. 自旋单态;B.自旋反对称态;C.自旋三态;D. 本征值为1.二 填空题(每题4分共24分)1如果已知氢原子的电子能量为 ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:,光的波长为。2如果已知初始三维波函数 ,不考虑波的归一化,则粒子的动量分布函数为 =,任意时刻的波函数为。3在一维势阱(或势垒) 中,在x=x 点波函数(连续或不连续),它的导数(连续或不连续)。4如果选用的函数空间基矢为 ,则某波函数 处于 态的几率用 Dirac符号表示为,某算符 在 态中的平均值的表示为。5在量子力学中,波函数 在算符操作下具有对称性,含义是,与 对应的守恒量 一定是算符。6金属钠光谱的双线结构是,产生的原因是。三计算题(40分)1设粒子在一维无限深势阱中,该势阱为:V(x)=0,当0xa,V(x)=,当x0,求粒子的能量和波函数。(10分)2设一维粒子的初态为,求。(10分)3计算表象变换到表象的变换矩阵。(10分)4 。4个玻色子占据3个单态 ,把所有满足对称性要求的态写出来。(10分)B卷一、(共25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分)3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。(4分)4、在一维情况下,求宇称算符和坐标的共同本征函数。(6分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间和能量的测不准关系。(5分)二、(15分)已知厄密算符,满足,且,求1、在A表象中算符、的矩阵表示;2、在A表象中算符的本征值和本征函数;3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、(15分)线性谐振子在时处于状态 ,其中,求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、(15分)当为一小量时,利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项,本征矢至的一次项。五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为:4、宇称算符和坐标的对易关系是:,将其代入测不准关系知,只有当时的状态才可能使和同时具有确定值,由知,波函数满足上述要求,所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系,是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值,令 ,则有 ,这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为:二、1、由于,所以算符的本征值是,因为在A表象中,算符的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符的矩阵是: 设在A表象中算符的矩阵是,利用得:;由于,所以,;由于是厄密算符,令,(为任意实常数)得在A表象中的矩阵表示式为:2、在A表象中算符的本征方程为:即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 对有:,对有:所以,在A表象中算符的本征值是,本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵,即三、解:1、的情况:已知线谐振子的能量本征解为: , 当时有:,于是时的波函数可写成:,容易验证它是归一化的波函数,于是时的能量取值几率为:,能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为:2、 时体系波函数显然,哈密顿量为守恒量,它的取值几率和平均值不随时间改变,故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解:将矩阵改写成:能量的零级近似为:,能量的一级修正为:,能量的二级修正为:, ,所以体系近似到二级的能量为:,先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为:,利用波函数的一级修正公式,可求出波函数的一级修正为:,近似到一级的波函数为:,五、解:由玻色子组成的全同粒子体系,体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标,根据题设,体系可能的状态有以下四个:(1);(2)(3); (4)一、(20分)已知氢原子在时处于状态 其中,为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值,写出时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为 , (1)将时的波函数写成矩阵形式 (2)利用归一化条件 (3)于是,归一化后的波函数为 (4)能量的可能取值为,相应的取值几率为 (5)能量平均值为 (6)自旋分量的可能取值为,相应的取值几率为 (7)自旋分量的平均值为 (8) 时的波函数 (9)二. (20分) 质量为的粒子在如下一维势阱中运动 若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态,试确定此势阱的宽度。解 对于的情况,三个区域中的波函数分别为 (1)其中, (2)利用波函数再处的连接条件知,。在处,利用波函数及其一阶导数连续的条件 (3)得到 (4)于是有 (5)此即能量满足的超越方程。当时,由于 (6)故 (7)最后得到势阱的宽度 (8)三、(20分) 证明如下关系式(1)任意角动量算符满足 。证明 对分量有同理可知,对与分量亦有相应的结果,故欲证之式成立。投影算符是一个厄米算符,其中,是任意正交归一的完备本征函数系。证明 在任意的两个状态与之下,投影算符的矩阵元为 而投影算符的共軛算符的矩阵元为 显然,两者的矩阵元是相同的,由与的任意性可知投影算符是厄米算符。利用证明,其中,为任意正交归一完备本征函数系。证明 四、(20分) 在与表象中,在轨道角动量量子数的子空间中,分别计算算符、与的矩阵元,进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在与表象下,当轨道角动量量子数时,显然,算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中,故是对角矩阵,且其对角元为相应的本征值,于是有 (1)相应的本征解为 (2)对于算符、而言,需要用到升降算符,即 (3)而 (4)当时,显然,算符、的对角元皆为零,并且, (5)只有当量子数相差时矩阵元才不为零,即 (6)于是得到算符、的矩阵形式如下 (7)满足的本征方程为 (8)相应的久期方程为 (9)将其化为 (10)得到三个本征值分别为 (11)将
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