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高三数学第一轮复习单元测试(7)圆锥曲线一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若椭圆经过原点,且焦点为,则其离心率为( )A BCD2若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )A B C D3已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离 之比等于( )A B C 2D44与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是( )A BC D 5直线与曲线 的公共点的个数为( )A 1 B 2 C 3 D 46如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是( )A B C D 7曲线与曲线的( )A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同D准线相同8双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则( )A B CD9设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、 两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是( )A B C D10抛物线上的点到直线距离的最小值是( )A BCD11已知抛物线上一定点和两动点当是,点的横坐标的取值范围是( )AB C D 12椭圆上有个不同的点:,椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为( )A199B200 C198D201二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13椭圆的两个焦点为 ,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么是的_倍.14如图把椭圆的长轴AB分成8等 分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+|P7F|=.15要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为_.16已知两点,给出下列直线方程:;.则在直线上存在点满足的所有直线方程是_.(只填序号)三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?18(本小题满分12分)已知三点P(5,2)、(6,0)、(6,0)。 (1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程; (2)设点P、关于直线yx的对称点分别为、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.19(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数). (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上一点,且过点的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.20(本小题满分12分)已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,. (1)求点的坐标; (2)设椭圆长轴上的一点, 到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值.21(本小题满分12分)已知抛物线,是否存在过点的弦,使恰被平分.若存在,请求所在直线的方程;若不存在,请说明理由.22(本小题满分14分)设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,且. (1)求点的轨迹的方程; (2)过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.答案与解析(7)1C . 原点到的距离之和是长轴长,又,所以椭圆的离心率.2D . 椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D3答案选C 依题意可知 ,故选C4A 设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为,点到轴的距离为,则有,而,所以,化简得.5D将代入得:,显然该关于的方程有两正解,即x有四解,所以交点有4 个,故选择答案D6D由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.7A由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆,由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线,故只能选择答案A8A . 一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下,因为等号后为常数“+”,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”,所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 既然说是双曲线,“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”:双曲线的标准形式是或(),题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4.即,所以。选A当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来9D由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知,由点与点关于轴对称知,=,则10A .抛物线上任意一点(,)到直线的距离.因为,所以恒成立.从而有,.选A11D .由题意知,设,又因为,由知,即,也就是,因为,所以上式化简得,由基本不等式可得或.12D . 由题意知,要使所求的最大,应使最小,最大,又为椭圆的右焦点,设的横坐标为故由第二定义可得,其中,所以当时, ,当时, 最大.由等差数列的通项公式可得, ,即,又因为,解得.137倍. 由已知椭圆的方程得.由于焦点 关于轴对称,所以必垂直于轴.所以,所以.1435. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+x7=0,于是|P1F|+|P2F|+|P7F|=a+ex1+a+ex2+a+ex7=7a+e(x1+x2+x7)= 7a=35,所以应填35.151米. 由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,所以柱子的高度为1米.16. 由可知点在双曲线的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为,直线过原点且斜率,所以直线与双曲线无交点;直线与直线平行,且在轴上的截距为故与双曲线的右支有两个交点;直线的斜率,故与双曲线的右支有一个交点.17(1)设曲线方程为,由题意可知,. . 曲线方程为. (2)设变轨点为,根据题意可知 得 , 或(不合题意,舍去). . 得 或(不合题意,舍去). 点的坐标为, .答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令. 18(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为+,其半焦距。, ,故所求椭圆的标准方程为+; (2)点P(5,2)、(6,0)、(6,0)关于直线yx的对称点分别为:、(0,-6)、(0,6)设所求双曲线的标准方程为-,由题意知半焦距, ,故所求双曲线的标准方程为-.19(1)设所求椭圆方程为:.由已知得:,所以.故所求椭圆的方程为:. (2)设,直线,则点.当时,由于.由定比分点坐标公式,得,.又点在椭圆上,所以,解得.当时,.于是,解得.故直线的斜率为0或.20(1)由已知可得点, 设点,则,由已知可得.则解得.由于,只能于是. 所以点P的坐标是. (2)直线的方程是.设点,则到直线的距离是. 于是,又,解得. 椭圆上的点到点的距离有,由于,所以当时,取得最小值.21假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为,点在抛物线上,所以,两式作差得,即,解得,故直线方程为,即.经验证,直线符合条件.22(1)由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.所以轨迹的方程为. (2)设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组消去 得:,恒成立,设,则.由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即,解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形.- 9 -
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