安吉县高级中学高二数学组 数学选修21 第三章 空间向量与立体几何 月 日 第 周周 总第 节笔记栏：3.1.4 -3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示 主备： 张倩 审核： 鲍利人 授课人： 班级 姓名 学号 【学习目标】 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【教学重点】空间向量的正交分解及坐标运算规律【教学难点】空间向量的正交分解一、知识链接1.平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴正方向上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，则称有序对为向量的 ，即 .二、学习过程探究一、空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：1.空间向量的正交分解:设是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个_,使得_，我们称_为向量在上的分向量.2.空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.3.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.4.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴 方向的 向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .5.向量的直角坐标运算：设a，b，则ab ； ab ；a ； ab .6.两个向量共线或垂直的判定若则_； _笔记栏：7.向量的模长及夹角的坐标公式设,则|= =_;cos, = =_.思考：当0cos, 1时，夹角, 的范围_ 当-1cos, 0时，夹角, 的范围_ 当cos, =0时，夹角, 等于_8.两点间距离设A，B，_，_试一试：1. 设，则向量的坐标为 .2. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab三、典型剖析例1. M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和.例2.设若，求k例3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=，应用空间向量的运算办法解决下列问题：（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦；（3）若A为C1G的中点，求FH的长.四、课堂小结 3.1.4 -3.1.5课后作业班级：_ 姓名：_ 学号：_1在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1 C2 D32若e1，e2，e3是空间的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z分别为()A.，1， B.，1， C，1， D.，1，3点M(1,3，4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是()A(1,3,0)、(1,0，4)、(0,3，4)B(0,3，4)、(1,0，4)、(0,3，4)C(1,3,0)、(1,3，4)、(0,3，4)D(0,0,0)、(1,0,0)、(0,3,0)4已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14) C(14,12,10) D(4,3,2)5.与向量=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为()A.(1,3,2)B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2)D.(1,-3,-2)6.向量=(-1,2,3),则向量的模是()A.14B.C.11D.7.已知，则三角形A B C是（ ）A、等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形 D、以上都不对8.已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是()A.0B.C.D. 9.在三棱锥OABC中，G是的重心，选取为基底，试用基底表示 10.已知且，求实数k的值 11.如右图，四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则 12.已知关于x的方程有两个实根，且，当t 时，的模取得最大值.13.已知A=(3,5,-7),B=（-2，4，3），求,线段AB的中点坐标 ；线段AB的长 ABCD14.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，（1）求和的夹角 （2）求证: 想一千次，不如行动一次；华丽的跌倒，胜过无谓的徘徊。