24.2 圆的基本性质第2课时 垂径分弦1理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点)；2认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605618年)由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理及应用【类型一】 利用垂径定理求线段长 如图所示，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD6cm，则直径AB的长是()A2cm B3cmC4cm D4cm解析：直径ABDC，CD6cm，DP3cm.连接OD，P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在RtDOP中，根据勾股定理列方程32x2(2x)2，解得x.OD2cm，AB4cm.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是_m.解析：本题考查垂径定理的应用，OCAB，AB300m，AD150m.设半径为R，在RtADO中，根据勾股定理可列方程R2(R50)21502，解得R250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 动点问题 如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OPAB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长解：作直径MN弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得ADDBAB4cm.又O的直径为10cm，连接OA，OA5cm.在RtAOD中，由勾股定理，得OD3cm.垂线段最短，半径最长，OP的长度范围是3cmOP5cm方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论的应用【类型一】 利用垂径定理的推论求角 如图所示，O的弦AB、AC的夹角为50，M、N分别是、的中点，则MON的度数是()A100 B110 C120 D130解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OMAB、ONAC，所以AEOAFO90，而BAC50，由四边形内角和定理得MON360AEOAFOBAC360909050130.故选D.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】 利用垂径定理的推论求边 如图，O的直径CD过弦AB的中点E，且CE2，DE8，则AB的长为()A9 B8 C6 D4解析：CE2，DE8，CD10，OBOC5，OE523.直径CD过弦AB的中点E，CDAB，AEBE.在RtOBE中，OE3，OB5，BE4，AB2BE8.故选B.方法总结：垂径定理的推论虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧2垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧