18. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,此方程有积分因子,只与有关 .充分性 若该方程有只与有关的积分因子 .则为恰当方程 ,从而 , , .其中 .于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一个积分因子21假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(+)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：两边同乘以，令，线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明：若，则又即为的一个积分因子。24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。证明：因为是方程的积分因子所以 为恰当方程即 ，下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：即当时，是方程的解。证毕！