2014年高三教学测试（一）理科数学 试题卷注意事项： 1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名; 2本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式，其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高 第卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，或，则A BC D2若复数满足，则A BC2 D3为了得到函数的图象，可以将函数的图象A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度4已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则（第5 题）5某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为A6 B7C8 D96对任意实数x，若表示不超过的最大整数，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7在直角中，为边上的点且，若，则的取值范围是A BC D8如图1，在等腰中，分别是上的点，为的中点将沿折起，得到如图2所示的四棱锥若平面，则与平面所成角的正弦值等于（第8题）图1图2.A B C D 9离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于A B C D10对非零实数，定义运算“”满足：（1）；（2）若，则下列判断正确的是A是增函数又是奇函数 B是减函数又是奇函数C是增函数又是偶函数 D是减函数又是偶函数第卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11已知函数，则 12设，则 （第13题）13某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 14已知点，抛物线的焦点为，线段与抛物线的交点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为若，则 （第15题）15如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点处取得最大值，则的取值范围是 16某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望为 17若的图象是中心对称图形，则 三、解答题（本大题共5小题，共72分）18（本题满分14分）已知函数.（）若，求的取值范围；（）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，求的值19（本题满分14分）设数列的前n项和为，且成等比数列，当时，（）求证：当时，成等差数列；（）求的前n项和20（本题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，面，设为中点，点在线段上且（第20题）（）求证：平面；（）设二面角的大小为，若，求的长21（本题满分15分）如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中，直线的方程为，直线的方程为（）若，求的值；（第21题）（）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？22（本题满分14分）设函数， （）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且函数的极小值为，求的值；（）若，且，求证：； 求证：在上存在极值点2014年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1C；2B；3A；4C；5B；6B；7B；8D；9C；10A第9题提示：设椭圆：，双曲线：，则，椭圆顶点、焦点到双曲线渐近线的距离依次为、，从而，所以，即，所以，选C第10题提示：在（2）中，令，得，再由（1），得；在（2）中，令，得，从而，所以所以，故既是增函数又是奇函数，选A二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11. ； 12. 64； 13. ； 14.；15.； 16. ； 17.第17题提示：，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称另解：若，则，图像不具有中心对称性；若，则若图像中心对称，则对称中心必为从而，对任意，恒成立，即恒成立，所以，无解；若，则若图像中心对称，则对称中心必为从而，对任意，恒成立，即恒成立，所以，故三、解答题（本大题共5小题，共72分）18（本题满分14分）已知函数.（）若，求的取值范围；（）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，求的值解：（） .4分， .7分（）由，得，又为锐角，所以，又，所以， .10分由，得，又，从而，所以， 14分19（本题满分14分）设数列的前n项和为，且成等比数列，当时，（）求证：当时，成等差数列；（）求的前n项和解：（） 由，得， 4分当时，所以，所以当时，成等差数列 .7分（）由，得或又成等比数列，所以（），而，所以，从而所以， .11分所以 .14分20（本题满分15分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，面，设为中点，点在线段上且（）求证：平面；（）设二面角的大小为，若，求的长（第20题）解：（）由，得，又面，所以以分别为轴建立坐标系如图则设，则 设，得：解得：，所以 .5分所以,，设面的法向量为，则，取因为，且面，所以平面 .9分（）设面法向量为， 因为，所以，取 . 11分由，得，所以 . 15分21（本题满分15分）如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中，直线的方程为，直线的方程为（）若，求的值；（第21题）（）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？解：（）由，解得，2分因为，所以设，则，化简得，5分又，联立方程组，解得，或因为平分，所以不合，故7分（）设，由，得，9分若存常数，当变化时，恒有，则由（）知只可能当时，取，等价于，即，即，即，此式恒成立所以，存常数，当变化时，恒有13分当时，取，由对称性同理可知结论成立故，存常数，当变化时，恒有15分22（本题满分14分）设函数， （）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且函数的极小值为，求的值；（）若，且，求证：； 求证：在上存在极值点解：（）， 依据题意得：，且2分，得或如图，得，代入得，. 4分（）8分，若，则，由知，所以在有零点，从而在上存在极值点 10分若，由知;又，所以在有零点，从而在上存在极值点12分若，由知，所以在有零点，从而在上存在极值点综上知在上是存在极值点 14分命题人王书朝（嘉善）、钱卫红（嘉善）吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2014年2月