电磁学思考题和计算题 第二章习题： A P B、 如图所示，一平行板电容器充电后，、两极板上电荷的面密度分别为和。设为两板间任一点，略去边缘效应，求：（） 板上的电荷在点产生的电场强度；（） 板上的电荷在点产生的电场强度；（） 、两板上的电荷在点产生的电场强度；（） 若把板拿走，板上电荷分布如何？板上的电荷在点产生的电场强度为多少？解：略去边缘效应，两极板上的电荷是均匀分布的电荷，两极板间的电场是均匀电场。由对称性和高斯定理可得 （1）板上的电荷在点产生的电场强度 （A板法线方向上的单位矢量，指向B板）；（2） B板上的电荷在点产生的电场强度 （3） 、B两板上的电荷在点产生的电场强度（4） 板拿走后，板上电荷将均匀分布在两个表面上，面电荷密度减小为一半。在P点产生的场强为两个表面上电荷产生场强的叠加，1 2 3 42、证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，（） 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；（） 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。（） 若左导体板带电+3微库/米2，右导体板带电+7微库/米2，求四个表面上的电荷。1 2 3 41 23 4解：由对称性可知，在每个面上，电荷必定都是均匀分布的，在两板间和两板外的电场必定都是均匀电场，电场强度的方向都与板面垂直。（） 作柱形高斯面如图所示，由高斯定理得 （） 根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加原理，导体内任一点P的电场强度为 （） 应用前述结果及电荷守恒定律 解得：由此可知，当Q1=Q2时，相向的两面上无电荷分布，相背的两面上电荷等量同号； 当Q1=-Q2时，相背的两面上无电荷分布，相向的两面上电荷等量异号。3、两平行金属板分别带有等量的正负电荷。两板的电位差为120V，两板的面积都是3.6cm2,两板相距1.6mm。略去边缘效应，求两板间的电场强度和各板上所带的电量。解：（1）两板间电场看作均匀电场，两板的电势差为 电场强度的方向由电势高的板指向电势低的板。 （2）利用上题结果，相背的两面上没有电荷，相向的两面上电荷面密度大小相等而符号相反。板上的电量为4、两块带有等量异号电荷的金属板a和b，相距5.0mm，两板的面积均为150 cm2,电量的大小都是2.6610-8C,a板带正电并接地（接地与否对a板的有何影响？）。以地的电位为零，并略去边缘效应，问：1 2 3 41 23 4a b（） b板的电位是多少？（） a、b间离a板1.0mm处的电位是多少？解：a、b两板上的电荷都均匀分布在相向的两面上，(1) 两板间的电场强度为 b板的电位为 （） 两板之间离a板1.0mm处的电位是 5、三平行金属板A、B和C，面积都是200 cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，BC两板都接地。如果使A板带正电3.010-7C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？解：（1）BC两板都接地，故两板上只有向着A的一面有感应电荷。由对称性和高斯定理得C A B2mm4mm （2）A板的电位为 注：A是一个等势体6、点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2，求场强和电位的分布，并画出Er和Ur曲线。解：（1）由高斯定理得场强的分布为R1R2q （2）电位分布为 （3）Er和Ur曲线如图所示UrR1 R2ErR1 R2 7、在上题中，若q=4.010-10C,R1=2cm，R2=3cm，求：（） 导体球壳的电位；（） 离球心r=1cm处的电位；（） 把点电荷移开球心1cm，求导体球壳的电位。解：（1）导体球壳的电位为 （2）离球心为r处的电位为 （3）导体球壳的电位取决于球壳外表面电荷分布所激发的电场，与点电荷在球壳内的位置无关。因此导体球壳电位仍为300V。8、半径为R1的导体球带有电量q,球外有一个内、外半径分别R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。（） 求两球的电位U1和U2；R2R3qQR1（） 两球的电位差U；（） 以导线把球和壳连在一起后，U1、U2和U分别是多少？（） 在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和U分别是多少？（） 设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为 （2）两球的电位差为 （3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上， （4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电 （5）内球电位为零。设其上所带电量为q, rR1 R2 R3UR1 R2 R3Er10、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为3.0106V,如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为3.010-3C/s，则在仅考虑电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带？解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率11、 德格喇夫起电机的球壳直径为1m。空气的击穿场强为30KV/cm。这起电机最多能达到多高的电位？解：对空间任一点P，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为 12、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电位为U1，半径为R1，外圆柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1rR2）的电位。解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 设r处的电位为U，则注：学习处理方法13、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半径为R1，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体的电位差为U。求其间离轴为r1和r2处（R1r1r2R2）的电位差。解：利用上题结果，离轴为r1和r2处（R1r1r2R2）的电位差为 14、 一很长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b的同轴导体圆筒，两者互相绝缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U，求导线和筒间的电场强度分布。解：由高斯定理可求得arb区域内的电场强度为 导线相对于外筒的电位差为 -习题： 3、 面积都是2.0m2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电位差为1000V，略去边缘效应，求：（） 电容C； （） 各板上的电量Q和电荷的面密度；（） 板间的电场强度E。解： 4、 如附图所示，三块平面金属板A、B、C彼此平行放置，AB之间的距离是BC之间距离的一半。用导线将外侧的两板A、C相联并接地，使中间导体板B带电3C，三个导体板的六个面上的电荷各为多少？AB C解：相当于两个电容器并联注：由于接地，5、 如附图所示，一电容器由三片面积都是6.0cm2的锡箔构成，相邻两箔间的距离都是0.10mm，外边两箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极。（） 求电容C；（） 若在这电容器上加220V的电压，问各箔上电荷的面密度分别是多少？解： 6、 如附图所示，面积为1.0m2 的金属箔11张平行排列，相邻两箔间的距离都是5.0mm，奇数箔联在一起作为电容器的一极，偶数箔联在一起作为另一极。求电容C。解： 22个面中除最外侧的两个面外，其他的20个面，相当于十个相同的电容器并联。 7、 Sdt如附图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚为t 的金属片。略去边缘效应，（） 求电容C；（） 金属片离极板的远近有无影响？解：相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为x当t 0时， 当t d时, C 或者：da8、 如附图所示，一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，两板不是严格平行，而是有一夹角。证明：当a),求单位长度的电容。dP解： 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为 单位长度的电容为 10、 证明：同轴柱形电容器两极的半径相差很小（即RB-RARA）时，它的电容公式趋于平行板电容公式。证明：同轴柱形电容器的电容公式为 令RB-RA=d ,且d RA 相当于平行板电容器的电容公式11、 证明：同心球形电容器两极的半径相差很小（即RB-RARA）时，它的电容公式趋于平行板电容公式。RBRA证明：同心球形电容器的电容公式为 当RB-RARA时，RBRAR2，RB-RA=d 相当于平行板电容器的电容公式12、 一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。（） 给内壳以电量Q，求R1和R4两壳的电位差；（） 求电容。解：（1）首先根据静电平衡分析电荷的分布，由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为 （2）电容为 13、 收音机里用的可变电容如附图所示，其中共有n个面积为S的金属片，相邻两片的距离都是d,奇数片联在一起作为一极，它固定不动（叫做定片），偶数片联在一起作为另一极，它可以绕轴转动（叫做动片）。（） 什么动片转动时电容C会改变？转到什么位置时C最大？转到什么位置时C最小？（） 证明：略去边缘效应时，C的最大值为 解：（）电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。当动片转动时，正对面积变化，电容随之变化。当动片完全转到定片间时，达到最大，就达到最大；当动片完全转出定片时，达到最小。（）当动片完全转入时，相当于n-1 个电容器并联，总电容为1、收音机里用的可变电容如上题所示，其