第5节离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用知 识 梳 理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.3两点分布若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1pp其中PP(X1)称为成功概率4条件概率(1)定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(2)性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)6独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1，2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率1对于古典概型，若用n(A)，n(AB)分别表示事件A，AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A).2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)3(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)二项分布与超几何分布的联系与区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()(4)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()答案(1)(2)(3)(4)解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，X的取值不是0，1，故不是两点分布，所以(2)不正确对于(4)，若A，B独立，则P(AB)P(A)P(B)，若A，B不独立，则P(AB)P(A)P(B|A)，故(4)不正确2袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A4 B5 C6 D5答案C解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.3(选修23P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p()A. B. C. D.答案C解析由分布列的性质，p1，p1.4抛掷两枚骰子，记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)_答案解析抛掷两枚骰子，总共有6636(个)基本事件，事件AB包括：(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共9个基本事件事件A包括：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个基本事件由题意可得P(AB)，P(A)，由条件概率公式可得P(B|A).5已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_答案解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).6设随机变量XB，则P(X3)_答案解析XB，由二项分布可得，P(X3)C.考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P23qq2则q的值为()A1 B.C. D.(2)随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为()A. B. C. D.答案(1)C(2)D解析(1)由分布列的性质知解得q.(2)因为P(Xn)(n1，2，3，4)，所以a1.a，故PP(X1)P(X2).感悟升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时注意检验，保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列及互斥事件的概率加法公式，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可【训练1】 (1)设随机变量X等可能取值1，2，3，n，如果P(X4)0.3，那么n_(2)设随机变量X的概率分布列如下表，则P(|X2|1)()X1234PmA. B. C. D.答案(1)10(2)C解析(1)由于随机变量X等可能取1，2，3，n.所以取到每个数的概率均为.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.(2)由|X2|1得X1或3，m1，P(|X2|1)P(X1)P(X3).考点二离散型随机变量的分布列【例2】 (2018天津卷改编)某单位技术开发办公室共7人，有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查(1)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，则随机变量X的分布列为_(只写出数字表达式即可，不必列表)；(2)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A发生的概率为_答案(1)P(Xk)(k0，1，2，3)(2)解析(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(Xk)(k0，1，2，3)(2)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.感悟升华(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤：找出随机变量X的所有可能取值xi(i1，2，3，n)；求出各取值的概率P(Xxi)pi；列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识【训练2】 一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，则随机变量X的分布列为_(列表)答案X123P解析根据题意可知，随机变量X的可能取值为1，2，3.当X1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5的4个球中取，故有P(X1)；当X2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5的3个球中取，故有P(X2)；当X3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4，5的2个球，故有P(X3).于是X的分布列为X123P考点三独立事件的概率【例3】 在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1，2，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下，第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物已知客人甲参加了该游戏(1)则甲拿到礼物的概率为_；(2)设X表示甲参加游戏的轮数，则X的概率分布列为_(列表)答案(1)(2)X1234P解析(1)设甲拿到礼物的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，则P(A).(2)随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，随机变量X的概率分布列为：X1234P感悟升华求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算【训练3】 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响则：(1)乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率分别为_；(2)甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率为_答案(1)，(2)解析(1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题