山东财经大学本科毕业论文(设计) 题目: 浅谈正态分布及其应用 学 院 数学与数量经济学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学二班 学 号 20100544218 姓 名 杨静 指导教师 山东财经大学教务处制二一四年五月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日浅谈正态分布及其应用摘要正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界中最常见的一种分布。许多实际问题中的变量，如人的身高、体重，产品的长度、宽度、重量等，测量误差以及射击时弹着点与靶心间的距离等都近似服从正态分布。它尤其在医学中更是有着重要的应用，并随着技术的发展正态分布越来越受到重视。理论研究表明，许多分布都可以用正态分布来近似，而且一些重要的统计分布可由正态分布导出，更重要的是，正态分布具有良好的性质。在理论研究中，正态分布十分重要。本文通过对正态分布的由来，以及定义和性质进行简单的描述，着重介绍了正态分布的应用，尤其是在医学中的应用，表明了正态分布与我们的生活息息相关，对经济发展、质量监控、医学诊断具有重要的作用。关键词：正态分布;均值;方差;极限定理On the normal distribution and its applicationAbstractNormal probability theory is the most important type of distribution, but also the nature of the most common form of distribution. Many practical problems in variables such as a persons height, weight, the product of length, width, weight, etc., measure the distance error and the point of impact with the bulls-eye when shooting between the approximate normal distribution so. It is particularly in medicine but also has important applications, and with the development of a normal distribution technology more and more attention. Theoretical studies indicate that many of the distribution can be approximated by a normal distribution, and the statistical distribution may be important normal export, and more importantly, the normal distribution having good properties. In theory, the normal distribution is very important. Based on the normal distribution of the origin and nature of the definition and description of a simple, highlighting the normal distribution of applications, especially in medical applications, indicating a normal distribution with our lives, to economic development, quality monitoring, medical diagnostics play an important role.Keywords: normal distribution; mean; variance; limit theorem目录一、引言1二、正态分布的理论1(一)正态分布的定义1(二)正态分布的性质2(三)一般正态分布与标准正态分布的关系3三、正态分布的应用3(一)正态分布的简单应用31.估计频数分布32. 统计方法的理论基础4(二)中心极限定理4(三)正态分布在医学中的应用6四、结论7参考文献9一、引言正态分布概念是由德国的数学家和天文学家棣莫弗于1733年在求二项分布的渐近公式时提出的，当时有一个赌徒向棣莫弗提出一个问题：A,B两个人在赌场里赌博，A,B各自获胜的概率是，赌局，两人约定若A赢的局数,则A付给赌场元，否则，B付给赌场元。问赌场挣钱的期望值是多少？问题并不复杂，本质上是一个二项分布，若为整数，棣莫弗求出最后的理论结果是其中但是对具体的，因为其中的二项公式中有组合数，为了把这个理论结果实际计算出数值结果，棣莫弗运用了斯特林公式（）假设无穷大，从而得出了二项分布的极限是正态分布；但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布;高斯与拉普拉斯研究了正态分布的性质。高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布不仅有了“高斯分布”的名称，而且后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。在高斯刚做出这个发现之初也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。正态分布也由此开始受到广泛的应用，在物理化学、产品质量检测，及在股票、证券中，尤其是近几年在医学诊断中有着重要的应用。对经济、科技、医学发展有着重要的应用。对于正态分布的发展过程，现有文献大多是谈论某一个人或某一阶段对正态分布的理论工作，并以记录和证明为主，正态分布从被人忽视，到得到广泛的应用过程并没有详细资料进行记载，而后者对数学研究则更具有理论价值和指导意义，这也是目前国内外研究的中点。本文也是在参考大量文献的基础上通过对正态分布的定义、性质进行了简单的介绍，着重介绍了正态分布在实际中的一些具体应用，更加偏重于对正态分布应用的描述。二、正态分布的理论(一)正态分布的定义定义2.1 定义在样本空间上，取值于实数域的随机变量，若其分布函数为则称是随机变量的正态分布，常常简单地记作，相应的其密度函数为并称为正态变量。这里的和分别指的是均值和标准差。关于点对称，在达到极大，当固定时，的值越小，的图像就愈尖，值越大，的图像就越平缓 。由概率密度函数的性质，我们可以知道，如果在点附近愈尖、愈高，则随机变量在点附近取值的概率也愈大，事实上，对任意服从的随机变量有这说明，随机变量的绝对值不超过的概率略大于，不超过的概率在0.95以上，而超过的概率只有0.003，即因为很小，在实际问题中常常认为它是不会发生的。也就是说，对服从分布的随机变量来说，基本上可以认为有这种近似的说法被一些实际工作者称作是正态分布的“原则”。由以上的讨论可知，反应了随机变量取值的分散程度。(二)正态分布的性质正态分布也称为“常态分布”，正态分布具有两个参数和，第一个参数是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数是此随机变量的方差，所以正态分布记作。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大，而取离越远的值的概率越小；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散；因此服从正态分布的变量的频数分布由，完全决定。性质1 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置。性质2 对称性：正态曲线以均值为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。性质3 均匀变动性：正态曲线由均值所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 (三)一般正态分布与标准正态分布的关系标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的和为0和1，通常用表示服从标准正态分布的变量，记为，其密度函数记为，分布函数为，所以标准正态分布以纵坐标为对称轴对称分布，人们编制了标准正态分布的分布表，由于对不同的，就有一个不同的正态分布，那当然不可能对所有的编制正态分布表。事实上，人们只编制了一张的标准正态分布表，我们可以通过变量变换，把一般的正态随机变量，变换成标准正态变量，将正态分布换为标准正态分布，便于查表，得出结果。三、正态分布的应用(一)正态分布的简单应用正态分布有极其广泛的应用，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、分布、分布等。其主要应用有以下几个方面。1.估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。例 某地区初中化学竞赛5000人参加，成绩呈正态分布，且平均分，标准差，预选100人参加省级竞赛，应如何确定分数线？并估计60分以上的人数。解 要录取100人，占总人数的0.02，在分数线以下的人数占全地区考生的0.98，查正态分布表得的值为2.05，所以录取分数线为。对于高于60分以上的人数，先求60分以下的人数所占概率为，所以60分以上的人数为。2. 统计方法的理论基础如分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，检验也是以正态分布为基础的。此外，分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。个相互独立地变量的平方和