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第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程三个条件:()是整式方程()含有一个未知数()未知数的最高次数是,三个条件缺一不可。一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时,常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤,同时注意项与项的系数。一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程 由应用直接开平方法解形如x2=p(p0),那么x=转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么mx+n=,达到降次转化之目的因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1 配方法:解方程ax2+bx+c=0 (a0)的一般步骤是:2.一元二次方程的求根公式 问题:已知ax2+bx+c=0(a0)且b2-4ac0,试推导它的两个根x1=,x2= 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根3 .一元二次方程根的判别式求根公式:x=,当b2-4ac0时,根据平方根的意义,等于一个具体数,所以一元一次方程的x1=x1=,即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时,根据平方根的意义=0,所以x1=x2=,即有两个相等的实根;当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等实数根即x1=,x2= (2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实数根即x1=x2=(3)当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根第三节 一元二次方程的应用知识点 1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两个实数根为x1、x2,则从而得到二次三项式因式分解公式:ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)条件对于二次三项式当=b24ac0时,能分解因式;当=b24ac0时,不能分解因式3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2bxc所对应的一元二次方程ax2bxc=0的两根x1、x2(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2)即可说明:(1)在二次三项式的因式分解时,注意不要丢掉公式中的二次项系数a(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆(3)把x1、x2的值代入公式后,能化简整理的可以化简整理1、二次三项式的因式分解例1、;(2)4y28y1分析:这两个二次三项式都需要用公式法分解因式解:(1)方程的根是(2)方程4y28y1=0的两根是点拨:(1)解方程时,如果二次项系数是负数,一般可将其化为正数再解,这样可提高解方程的准确性,如解4y28y1=0可化为4x28y1=0再解;(2)写出二次三项式的分解因式时,不要漏掉第一个因数“4”(3)把4分解为22,两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母,从而使分解式得到简化,要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变2、形如Ax2BxyCy2的因式分解例2、分解因式5x22xyy2分析:形如Ax2BxyCy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式,我们可以选择其中一个变元作为未知数,另一个就看作已知数,这样一来,就可将多项式Ax2BxyCy2看作二次三项式来分解,如本题可看作关于x的二次三项式,其中a=5,b=2y,c=y2解:关于x的方程5x22xyy2=0的根是点拨:本题将y视为常数,是利用公式法分解因式的需要,即把x视为主元,称为“主元法”,这样便于用公式解题例3、分解因式3x2y210xy4;分析:将3x2y210xy4转化为关于xy为元的二次三项式,实际上是利用换元法进行因式分解解:关于xy的方程3(xy)210xy4=0的根是,3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x24x2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解;(2)不能分解;(3)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么?分析:(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根,即=b24ac0;(2)不能分解的条件是0;(3)=0时,二次三项式是完全平方式解:=(4)2432k=1624k(1)当0时,即1624k0,时,二次三项式3x24x2k在实数范围内能分解因式;(2)当0时,即1624k0,时,3x24x2k不能分解因式;(3)当=0时,即1624k=0,时,3x24x2k是一个完全平方式当时,例5、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式,试求m的值分析:若二次三项式为一个完全平方式,则其判别式=0解:对于二次三项式9x2(m6)xm2,其中a=9,b=(m6),c=m2,=b24ac=(m6)249(m2)=m224m108原二次三项式是一个完全平方式,=0,即m224m108=0,解得m1=6,m2=18故当m=6或m=18时,二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式点悟:解题规律是:若b24ac=0,则二次三项式ax2bxc(a0)是完全平方式;反之,若ax2bxc(a0)是完全平方式,则b24ac=0知识点2 实际应用
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