梯形与重心知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形 对角线的交点是平行四边形的重心。2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。三、规律方法指导知识点回顾：1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：类别定义性质判定面积公式梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形中位线平行于两底且等于两底和的一半根据定义判定两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积等腰梯形两腰相等的梯形1. 两腰相等；2. 同一底上的两角 相等；3. 两条对角线相等4. 等腰梯形是轴对 称图形1. 根据定义判定；2. 同底两角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性质根据定义判定2梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：方法 作法 图形 目的 平移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，. 求：AB的长. 解析：过点A作交BC于E，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC又，四边形AECD是平行四边形. 是等边三角形. 又， 总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_【答案】梯形ABCD中，ADBC，BDBC设AD=x，BC=y，DB=z， 由题得：x+y+z=16， ，（熟记梯形面积公式） 解得x+y=8，z=8， 过D作DEAC交BC的延长线于E 四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） DE=AC，AD=CE（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在RtDBE中，DBE=90，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8， 根据勾股定理得， AC=DE， 【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CFAB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的证明：如图，连结AC，过C作CFAB于F在CFB和AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）CFBAEB（AAS）CF=AED=90，CFAB且ABCD，AFCD是矩形AD=CF，AD=AE在RtADC和RtAEC中，RtADCRtAEC（HL）CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，、为、的中点。求证：【答案】如图，延长，相交于点，连结，. 、为、的中点， ， 、三点共线 【变式4】（过一腰中点作底边平行线构造中位线）已知梯形ABCD中，ADBC，ABC的平分线过CD的中点E求证：ADBC=AB【答案】证明：过E作EFBC交AB于F，则EFBCAD，E是CD的中点EF为梯形ABCD的中位线,2=3ADBC=2EF，AF=FB1=2， 1=3，则BF=EFBF=EF=AF2EF=BF+AF=ABADBC=2EFADBC=AB【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点， 【答案】证明：过E作MNAB交BC于N，交 AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形ABE与ABNM同底同高，1=C，M=2，DE=CE，EMDENCSABNM=S梯形ABCD类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：思路点拨：要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。 而，且，则问题得证， 本题要证对应的角相等也并不困难。解析：四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，在和中，又， 举一反三：【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O. 求证：. 【答案】， A、D两点到BC的距离相等. 即中BC边上的高与中BC边上的高相等. （等底等高）. 说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。【答案】【变式3】如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 【答案】证明：（1）（已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（角平分线定义）， （等角对等边） （已知） 即 （等边对等角） 又（对顶角相等） （内错角相等，两直线平行） 而 四边形ADCE是梯形 又 （全等三角形的对应边相等）. 四边形ADCE是等腰梯形 解答：（2）四边形ADCE是等腰梯形 梯形ADCE的周长 而的周长 即 梯形ADCE的周长说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决