证明题： 设在上连续，且，又，求证：对于方程 的一切解，均有。证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ，即。由于，则存在，当时，。因而，由，从而有，显然。应用洛比达法则得 。证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数。证 要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，方程组存在唯一的解。分别取初始条件，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。任取方程组的个解，这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。这就证明了方程组最多有个线性无关的解。证明题：如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间上的连续函数，是的朗斯基行列式。证 已知是对应齐次方程的基本解组，则齐次方程的通解为 。 用常数变易法，求原方程的特解。设 是原方程的特解，则满足下列关系 ，解得，积分得 。原方程的一个特解为 故是原方程的一个特解。证明题：设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，.，是方程组（1）的线性无关解组。 证： 设是常系数线性齐次方程组 （1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，.，是方程组（1）的线性无关的解组。证 先证明，.，都是方程组（1）的解。由于方程组（1）的解，则有，即 其中表示单位矩阵。 由易得 。 （2），由（2），上式变为，。 故，.，都是方程组（1）的解。再证明向量组，.，线性无关。 因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，。 若，即 ，给上式两边关于求阶导数，得，则必有。 给，两边关于求阶导数，则必有。 同理，可得，。故向量组，.，线性无关。 综上所述，我们证明了向量组，.，是方程组（1）的线性无关的解组。证明题：阶齐次线性常微分方程有且最多有个线性无关的解。阶齐次线性常微分方程有且最多有个线性无关的解。证明 ：由于阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件的解为则一定存在个解，又因为若任取个解由于 即最后一行可由前行线性表出，则=0，故这个解一定是线性相关的。从而命题得证。证明题：设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点证明：证明 由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 （*） （5分） 假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得 = 于是 这与（*）式矛盾 常微分方程习题集（5）（五）证明题1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：，其中是常数向量.4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则。10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。（五）、证明题参考答案 1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得： ， 令，则： ， 所以 ， 故 2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数证明：设在区间上连续，由刘维尔公式可知，对任意，它们的朗斯基行列式满足： ， 而在方程中，所以 ， 即 ， 3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：.其中是常数向量.证明：要证是解，就是要证能够确定常数向量，它使得 ， 即，成立。 亦即 ， 由于不是的特征值，故，从而存在逆矩阵， 那么可取向量 ， ， 这样方程就有形如的解. 4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.证明：先证必要性，设方程为线性方程，即 ， 所以 ， ， 即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。再证充分性，因为在方程，中所以 ， 如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设 关于积分得：，是的可微函数，故方程可表为：是线性方程. 5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.证明：设为方程的任一解，它满足初始值条件，由常数变易法有：， 于是 = 0 + 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.证明：设为黎卡提方程的一个特解，则 ， 令，则有 整理得： 它是的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. 7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.证明：设的系数矩阵在区间上连续，任意取定一点和个线性无关的维常向量。 对于每一个，以表示满足初始条件的解向量。 由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间上存在且有定义。 由于常向量组是线性无关的，从而向量函数组于区间上线性无关. 8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数的表达式：是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。证明：将直接代入一阶非齐次线性方程可知，对任意常数，都是一阶非齐次线性方程的解。 反之，设是一阶非齐次线性方程的任一解，则是其对应齐次方程的解。 任取，由于是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解，所以。 令，则 和都是其对应齐次方程的解，并且在时取相同的值，故由初值问题解的唯一性知，应有，即。9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，则，.证明：因为方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，所以可设是其基本解矩阵。 从而有： ， 与 ，成立。 所以 ， 又由于是其基本解矩阵，所以，即可逆，故，. 10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。证明：设是的解，是实函数矩阵，则： ， 从而 ， 所以，且即它的实部和虚部都是（LH）的解。 反之，若，成立。则 ， 即向量函数是（LH）的解。 常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_