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北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A(0,)B(0,)C,1D,1【答案】D2已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则双曲线的方程为( )AB CD【答案】C3抛物线 的焦点为F,点ABC在此抛物线上,点A坐标为(1,2).若点F恰为ABC的重心,则直线BC的方程为( )A B C D 【答案】B4已知抛物线的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于两点,则的最小值是( )A 4B 8C 12D 16【答案】B5已知圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线和直线OP相较于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )A圆B椭圆C抛物线D双曲线一支【答案】D6若直线mx- ny = 4与O: x2+y2= 4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆 的交点个数是( )A至多为1B2C1D0【答案】B7已知F是椭圆(ab0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PFx轴, OPAB(O为原点), 则该椭圆的离心率是( )ABCD 【答案】A8抛物线 的准线方程是( )ABCD【答案】D9方程所表示的曲线图形是( )【答案】D10椭圆的两个焦点是F1(1, 0), F2(1, 0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则该椭圆方程是( )ABCD【答案】C11我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设 (ab0)为“优美椭圆”,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它短轴的一个端点,则ABF等于( )A60B75C90D120【答案】C12设双曲线交双曲线的两渐近线于点A、B,且,则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13已知过点P(1,0)且倾斜角为60的直线l与抛物线交于A、B两点,则弦长|AB|= .【答案】14设为抛物线的焦点,与抛物线相切于点的直线与轴的交点为,则的值是 【答案】15已知P为椭圆 上一点,F1,F2是椭圆的焦点,F1PF2=900,则F1PF2的面积为_;【答案】916已知椭圆的焦点为F1、F2,直线CD过焦点F1,则F2CD的周长为_【答案】20三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17已知直线L:与抛物线C:,相交于两点,设点,的面积为.()若直线L上与连线距离为的点至多存在一个,求的范围。()若直线L上与连线的距离为的点有两个,分别记为,且满足 恒成立,求正数的范围.【答案】(1)由已知, 直线L与抛物线相交,所以,即 (1)又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切,所以,(2)由(1)(2)得:(2)由题意可知,当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点C,D时,可得,且令, 令,当且仅当取到最小值是所以, 18已知椭圆,当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围。【答案】由 得 因为直线与椭圆有公共点 所以,解得19抛物线与直线相交于两点,且()求的值。 ()在抛物线上是否存在点,使得的重心恰为抛物线的焦点,若存在,求点的坐标,若不存在,请说明理由。【答案】()设,由直线与抛物线方程联立可得:由可得即()假设存在动点,使得的重心恰为抛物线的焦点,由题意可知,的中点坐标为由三角形重心的性质可知,即即满足抛物线方程故存在动点,使得的重心恰为抛物线的焦点 20已知椭圆的两个焦点分别为,点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.()求椭圆的方程;()过点的直线与椭圆相交于,两点,设点,记直线,的斜率分别为,求证:为定值.【答案】()依题意,由已知得 ,由已知易得,解得. 则椭圆的方程为.(II) 当直线的斜率不存在时,由解得.设,则为定值.当直线的斜率存在时,设直线的方程为:.将代入整理化简,得.依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,. 又,所以 综上得为常数2.21已知双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点,F1为左焦点()求双曲线的方程;()若的面积等于,求直线的方程【答案】()依题意,双曲线的方程为:(4分)()设,直线,由,消元得,时,的面积 ,所以直线的方程为 22设动点 到定点的距离比到轴的距离大记点的轨迹为曲线C(1)求点的轨迹方程;(2)设圆M过,且圆心M在P的轨迹上,是圆在轴的截得的弦,当运动时弦长是否为定值?说明理由;(3)过做互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形面积的最小值【答案】 (1) 由题意知,所求动点为以为焦点,直线为准线的抛物线,方程为; (2) 设圆心,半径 圆的方程为 令得 即弦长为定值;(3)设过F的直线方程为 , 由得 由韦达定理得 同理得 四边形的面积.
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