第一章 质点运动学1-1 在一艘内河轮船中，两个旅客有这样的对话：甲：我静静地坐在这里好半天了，我一点也没有运动。乙：不对，你看看窗外，河岸上的物体都飞快地向后掠去，船在飞快前进，你也在很快地运动。试把他们讲话的含意阐述得确切一些，究竟旅客甲是运动，还是静止？你如何理解运动和静止这两个概念的。答：如果以轮船为参考系，则甲、乙旅客都是静止的，而河岸上的物体都在向后运动；如果以河岸为参考系，则轮船及甲、乙旅客都是运动的。运动是绝对的，而静止是相对的。描述物体的运动情况时，首先要选定参考系，选取的参考系不同，对物体运动的描述也就不同。1-2 有人说：“分子很小，可将其当作质点；地球很大，不能当作质点”，对吗？答：这种说法不对。“质点”是经过科学抽象而形成的物理模型。物体能否当作质点是有条件的，相对的。当研究某物体的运动，可以忽略某大小和形状，或者只考虑其平动，那么就可把物体当作质点.。例如，分子虽小，但如研究分子内部结构时，不能当作质点；地球虽大，但如研究地球自转现象时，也不能当作质点，而当研究地球绕太阳的公转时，就可当作质点。1-3 已知质点的运动方程为，有人说其速度和加速度分别为其中，你说对吗？答：题中说法不对。根据定义，所以，由可得如下结论：，显然，显然， 。1-5 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的呢？答：据题意，加速度与时间的关系是线性的，则可以设（其中为常量）.有：，两边积分，有 ，即，速度与时间的关系不是线性的，同理，由，有，即位矢与时间的关系也不是线性的。1-6 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶。当击发枪机，子弹从枪口射出时，木偶正好从树上由静止自由下落。试说明为什么子弹总可以射中木偶？ 答：1-7 一质点作匀速率圆周运动，取其圆心为坐标原点，试问：质点的位矢与速度、位矢与加速度、速度与加速度的方向之间有何关系？答：如图所示，A为圆周上一点，设质点沿O为圆心，半径为r的圆周做逆时针方向的匀速率圆周运动。以动点A为原点，建立如图示自然坐标系，则由图可知质点的位矢沿法向单位矢量的负方向，速度沿切向单位矢量正方向，所以质点的位矢与速度方向相互垂直，即 。质点作匀速率圆周运动，则其切向加速度，加速度沿法向单位矢量正方向。由以上分析可知，质点速度方向沿切向，而加速度沿法向，所以，质点速度方向与加速度方向垂直。1-8 在关于两门科学的对话一书中，伽利略写道：“仰角比45增大或减小一个相等角度的抛体，其射程是相等的。”你能证明吗？答：证明：由教材P13的结论可知，给定初速，抛射角为的抛体的射程为.则抛射角分别为比45增大和比45减小的抛体，其射程分别为、 ，则 、 。1-9 下列说法是否正确：（1）质点作圆周运动时的加速度指向圆心；（2）匀速圆周运动的加速度为恒量；（3）只有法向加速度的运动一定是圆周运动；（4）只有切向加速度的运动一定是直线运动。答：质点作圆周运动时，其加速度 ，其中（1）.当时，即，不是匀速率圆周运动时，加速度就不指向圆心。（2）.因匀速圆周运动时，加速度，而为大小为1，方向不断变化的变矢量。所以，匀速圆周运动时，加速度大小不变，而方向不断变化，但始终指向圆心。（3）.只有法向加速度，则切向加速度，则，速率不变，且加速。若为圆周运动，则必有不变，从而法向加速度大小也不变。所以，应该说，只有法向加速度且其大小不变的运动一定是圆周运动。（4）.只有切向加速度，则,一般则，所以是直线运动。1-10 在地球赤道上，有一质点随地球自转的加速度为aE；而此质点随地球绕太阳公转的加速度为aS。设想地球绕太阳的轨道可是为圆形。你知道这两个加速度之比是多少？答：1-11 一只鸟在水平面上沿直线以恒定速率相对地面飞行，有一汽车在公路上行驶，在什么情况下，汽车上的观察者观察到鸟是静止不动的？在什么情况下，他观察到小鸟似乎往回飞。答：当汽车相对地面运动的速度大小和方向均与鸟相对地面运动的速度大小和方向相同时，汽车上的观察者观察到鸟是静止不动的；当汽车相对地面运动的速度方向与鸟相对地面运动的速度方向相同，且汽车相对地面运动的速度大小比鸟相对地面运动的速率大时，汽车上的观察者观察到鸟似乎往回飞.1-12 一人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一块石子，此石子是否能落回人的手中？如果石子抛出后，火车以恒定的加速度前进，情况又如何答：当火车以恒定速度运动时，一人竖直向上抛出石子，由于惯性，则此石子能落回人手中；当石子抛出后，火车以恒定加速度前进，则此石子落到人的后方.1-13 如果有两个质点分别以初速和抛出，和在同一平面内且与水平面的夹角分别为和，有人说，在任意时刻，两质点的相对速度是一常量。你说对吗？图1-13答：题中说法正确。如图示依题意，在任意时刻，两质点的速度分别为，并且，。由图可知，任意时刻，两质点的相对速度为常量。1-11 旋转液体抛物面公式推导定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P，其受力如图1。Fi为沿径向向外的惯性离心力，mg为重力，N为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N必然垂直于液体表面。在X-Y坐标下P(x,y) 则有： 为处的值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。用旋转液体测量重力加速度g在实验系统中，一个盛有液体半径为的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。设液体未旋转时液面高度为，液体的体积为： （2）因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为： （3）由（2）、（3）式得： （4）联立（1）、（4）可得，当时，即液面在处的高度是恒定值。方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度图2 实验示意图如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差为，点（）在（1）式的抛物线上，有，得：又，则 （5）为圆筒直径，为旋转速度（转/分）。补充第五版p21 1-121-12 把一小钢球放在大钢球的顶部，让两钢球自具地面高为h处由静止自由下落，与地面上钢板相碰撞。相碰后，小钢球可弹到9h的高度。你能用相对运动的概念给予说明吗?设钢球间和钢板间的碰撞均为完全弹性碰撞。答：分四个过程考虑第一过程：大、小球一起落下。大球、小球着地的瞬时，相对地的速度为。第二过程：大球与地间的碰撞为完全弹性碰撞，大球以速率v反弹，因小球仍速率v向下运动，所以它相对于大球的速率为2v，方向向下。（在这一过程中，大球与钢板相碰时钢板的弛豫时间（恢复时间）要短于小球与大球相碰后的弛豫时间，因此可将大球与钢板碰撞结束和小球于大球碰撞开始分开）第三过程：小球相对于大球仍为完全弹性碰撞，则小球碰撞后相对于大球反弹的速率仍为2v，此时，大球相对于地面的速率仍为v。第四过程：小球相对于地面以3v弹起，故小球升起的高度为5