新编人教版精品教学资料课时跟踪检测（二十二） 平面向量数量积的物理背景及其含义层级一学业水平达标1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选C由题意，知ab|a|b|cos 4cos 2，又0，所以.2已知|b|3，a在b方向上的投影为，则ab等于()A3 B.C2 D.解析：选B设a与b的夹角为.|a|cos ，ab|a|b|cos 3.3已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6 B6C3 D3解析：选Bcd0，(2a3b)(ka4b)0，2ka28ab3kab12b20，2k12，k6.4已知a，b满足|a|4，|b|3，夹角为60，则|ab|()A37 B13C. D.解析：选C|ab|.5在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形解析：选B，即一组对边平行且相等，0，即对角线互相垂直，四边形ABCD为菱形6给出以下命题：若a0，则对任一非零向量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中，正确命题的序号是_解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，显然错误答案：7设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e7e1e22e67cos 602.答案：8若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析：ca，ca0，(ab)a0，即a2ab0.|a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，b.又0a，b180，a，b120.答案：1209已知e1与e2是两个夹角为60的单位向量，a2e1e2，b2e23e1，求a与b的夹角解：因为|e1|e2|1，所以e1e211cos 60，|a|2(2e1e2)2414e1e27，故|a|，|b|2(2e23e1)24912e1e27，故|b|，且ab6e2ee1e262，所以cosa，b，所以a与b的夹角为120.10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，ab|a|b|cos 1.cos ，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.层级二应试能力达标1已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为，则向量ma4b的模为()A2B2C6 D12解析：选B|m|2|a4b|2a28ab16b248211612，所以|m|2.2在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8C8 D16解析：选D法一：因为cos A，故|cos A|216，故选D.法二：在 上的投影为|cos A|，故|cos A|216，故选D.3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|()A1 B.C. D3解析：选C由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则()A3 B0C1 D1解析：选C()|2|222cos 6022221.5设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：法一：由abc0得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24. 法二：如图，作a，b，则c.ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.答案：46已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_解析：(2a3b)a2ab3b212，即3|b|2|b|40，解得|b|(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 451.答案：17已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2.又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.8设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0.即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得所求实数t的取值范围是.