2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第5节 指数与指数函数学案新人教B版2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第5节 指数与指数函数学案新人教B版年级：姓名：第5节指数与指数函数一、教材概念结论性质重现1n次方根(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xna，则x称为a的n次方根当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数(2)a的n次方根的性质()na；当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|2有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a()m (a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂：a(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的概念一般地，函数yax称为指数函数，其中a是常数，a0且a1.形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数4指数函数的图像与性质0a1图像定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)，即x0时，y1当x1；当x0时，0y0时，y1；当x0时，0y1)的值域是(0，)( )(5)函数y2x1是指数函数( )(6)若am0，且a1)，则m0，且a1)的图像经过点P，则f(1)_.解析：由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知函数f(x)axb(a0，且a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，易知f(x)在1,0上单调递增，则即无解当0a0，则下列等式成立的是()A(2)24 B2a3C(2)01 D(a)4D解析：对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4，故D正确2化简：(a0，b0)_.解析：原式2213101.3计算：(0.002)10(2)10_.解析：原式250011010201.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一考点2指数函数的图像及应用综合性(1)已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图像可能是()B解析：y|f(x)|2x2|易知函数y|f(x)|的图像的分段点是x1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|0. 又y|f(x)|在(，1)上单调递减故选B.(2)若函数y|2x1|的图像与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为_(0,1)解析：作出曲线y|2x1|的图像与直线yb如图所示由图像可得b的取值范围是(0,1)指数函数图像的应用问题的求解方法(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图像的交点进行判断1若函数y|2x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_(，0解析：因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，02若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1解析：作出曲线|y|2x1的图像，如图所示，要使该曲线与直线yb没有公共点，只需1b1.3若直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为_解析：y|ax1|的图像是由yax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的当a1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0a1时，如图2，要使两个图像有两个交点，则02a1，得0a.综上可知，a的取值范围是.考点3指数函数的性质及应用应用性考向1比较大小已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbca Dca4b，c2554a，所以bac. 故选A.考向2解指数方程或不等式(1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_解析：当a1时，代入不成立故a的值为.(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_(3,1)解析：当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，所以a3.又a0，所以3a0.当a0时，不等式f(a)1可化为1.所以0a1.综上，a的取值范围为(3,1)考向3指数型函数的单调性已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_(，4解析：令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4考向4指数型函数的最值若函数f(x)ax24x3有最大值3，则a_.1解析：令h(x)ax24x3，yh(x)因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决1已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a)B解析：易知f(x)2x2x在R上为增函数又ab0，clog20，则abc，所以f(c)f(b)f(a)2(2020全国卷)若2x2y3x3y，则()Aln(yx1)0 Bln(yx1)0Cln|xy|0 Dln|xy|0A解析：(方法一)由2x2y3x3y，可得2x3x2y3y.令f(x)2x3x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)f(y)，所以xy，即yx0.由于yx11，故ln(yx1)ln 10.故选A.(方法二)取x1，y0，满足2x2y3x3y，此时ln(yx1)ln 20，ln|xy|ln 10，可排除BCD.故选A.3函数yx22x1的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)C解析：设tx22x1，则yt.因为01，所以yt为关于t的减函数因为t(x1)222，所以00)，则yt22t的单调递增区间为1，)令2x1，得x0.又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单调递增区间是0，)(2020临沂月考)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca四字程序读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1.利用函数单调性；2通过中间量比较大小；3作差或商比较1.构造函数；2统一幂指数；3化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解A解析：先比较b与c的大小，构造函数yx. 因为0，所以b01，所以ac，所以acb.故选A.思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小A解析：因为a，b，c为正实数，且a52，b53，c52，所以a5 c5 b5，即acb.故选A.思路参考：将三个数转化为同次