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提升综合素养(二) 平面向量1.如图所示,在ABC中,设a,b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P,则()A.abB.abC.ab D.ab解析:选C连接BP,则b,a.由,得2ab.又QB(),将代入,得2ab,解得ab.2已知向量a(m,1),b(m2,2)若存在R,使得a0,则m ()A0 B2C0或2 D0或2解析:选Ca(m,1),b(m2,2),ab0,(mm2,12)(0,0),即故选C.3已知向量(3,4),(6,3),(2m,m1)若,则实数m的值为 ()A. BC D3解析:选D(3,1),由,得3(m1)2m,解得m3,故选D.4在ABC中,()|2,则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形解析:选C由()|2,得()0,即()0,20,A90.故选C.5已知向量a,b的夹角为120,|a|b|1,c与ab同向,则|ac|的最小值为 ()A1 B.C. D.解析:选D|a|b|1,c与ab同向,a与c的夹角为60.又|ac|,故|ac|min.6已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin B1,向量p(a,b),q(1,2)若pq,则C的大小为 ()A. B.C. D.解析:选B由sin B1,得B,所以在ABC中,cos C.又由p(a,b),q(1,2),pq,得2ab0,a,故cos C,所以C.7对于向量a,b,当且仅当_时,有|ab|a|b|.解析:当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|ab|a|b|,所以只有两向量共线且同向时,才有|ab|a|b|.答案:a与b同向8设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若ae13e2,b2e1,则向量a在b方向上的射影为_解析:依题意得|e1|e2|1,且e1e2,|b|2,所以向量a在b方向上的射影为|a|cosa,b.答案:9已知向量a(2,5),b,且a(a2b),则y_.解析:由题意,知a 2b,因为a(a2b),所以55(52y)0,解得y3.答案:310已知点A(1,2),B(2,8)及,求点C,D和的坐标解:设C(x1,y1),D(x2,y2)由题意可得(x11,y12),(3,6),(1x2,2y2),(3,6),(x11,y12)(3,6)(1,2),(1x2,2y2)(3,6)(1,2)则有解得C,D的坐标分别为(0,4)和(2,0),因此(2,4)11.如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF与AC分别交于点R,T,证明:R,T为AC的三等分点证明:设a,b,则ab,ba.由于与共线,因此存在实数m,使得m(ab)又与共线,因此存在实数n,使得n n.由n,得m(ab)an,整理得(mn1)ab0.由于向量a,b不共线,所以有解得所以.同理A,所以,所以ARRTTC,所以R,T为AC的三等分点12已知向量a(cos ,sin ),向量b(,1)(1)若ab,求的值;(2)若|2ab|m恒成立,求实数m的取值范围解:(1)ab,cos sin 0,得tan .又,.(2)2ab(2cos ,2sin 1),|2ab|2(2cos )2(2sin 1)28888sin.又,.sin.|2ab|2的最大值为16.|2ab|的最大值为4.又|2ab|4.,即实数m的取值范围为(4,)- 1 -
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