个人收集整理勿做商业用途第6题AiD1B1c C1DCAa AD2D1D3D4(4)ma nb第七章空间解析几何与向量代数(一)1.自点Po Xo,yo,Zo分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标2过Po xo,yo,zo分别作平行于z轴的直线和平行于xoy面的平面，问在它 们上面的点的坐标各有什么特点？3. 在空间直角坐标系下，设点P 2, 3,1关于0x轴的对称点为Pi，P关于xoz 平面的对称点为P2，关于原点O的对称点为P3，求R、P2、P3.4. 在yoz平面上,求与三点A 3,1,2、B 4, 2, 2和C 0,5,1等距离的点。5. 证明x2 y2 z2 2x 4y 4z 0是一个球面方程，并求出球心和半径6. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。7. 如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,AB a , AD b , AA c 试用 a， b， c 来表 示对角线向量AC1， A1C。8 .把 ABC的BC边五等分，设分点依次 为D1，D2，D3，D4，再把各分点与 A点连 接试以AB c,BC a表示向量D1A , D2A， D3A和 D4A.9. 已知 M1 2,2, 2 , M2 1,3,0，求 M1M2的模、方向余弦与方向角10 .已知 a 3,5, 1 ， b 2,2,3 ，fc 4, 1, 3，求下列各向量的坐标：*f*P-(1) 2a ;(2)abc; (3)2a3b4c11. 设向量的方向余弦分别满足(1) cos 0 ;cos 1 ; (3)cos cos 0 ,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?12. 分别求出向量a I j k,b 2】3 5k及c 2i 2k的模，并分 别用单位向量a ,b ,c表示向量a ,b , c。13 .设 m 3 5j 8k , n 2i 4j 7k 和 p 5 i j 4k ,求向量 a 4m 3n p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。14. 已知 ABC的三个顶点为A 3,3,2 , B 1,2,1 , C 2,4,0，求角B的大小。15. 在xz坐标面上求一与已知向量a 2,3,4垂直的向量。16. 求以A 1,2,3 , B 3,4,5 , C 1, 2,7为顶点的三角形的面积S17. 求与向量a 2,0,1 ,b 1, 1,2都垂直的单位向量。18. 设三向量a , b , c满足a b b c b a 0，试证三向量a , b ,c共面。19. 求与坐标原点O及点2,3,4的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面 的方程，它表示怎样的曲面?20. 将xoz坐标面上的抛物线z2 5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面 的方程。21 .画出下列各方程所表示的曲面：2 2 2 2(1) x a y2 a ；宁宁 1; (3) z 2 x2。229422. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) x 2; (2)y x 1; (3) x2 y2 4; (4) x2 y2 1.23. 说明下列旋转曲面是怎样形成的？22 y 2222(1) xz 1; (2) z a x y .424. 指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形?个人收集整理勿做商业用途y5x3 ；2x42y 19y2x3y325分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2x1 2x2z2 y216的柱面方26.求球面x2y2 z2 9与平面x z 1的交线在xoy面上的投影的方程.27.求过 1,1, 1 ,2, 2, ,2和1, 1,2三点的平面方程28.求平面2x 2y z 50与xoy面的夹角129.分别按下列条件求平面方程(1)平行于xoz面且经过点2, 5,3 ;通过z轴和点 3,1,2 ;(3)平行于x轴且经过两点4,0, 2和5,1,730.用对称式方程及参数式方程表示直线x y z 1 I:2x y z 431.求直线5x 3y 3z 93x 2y z 1o0与直线2x3x2y8y；;:的夹角的余弦。32.求过点0,2,4且与两平面x 2z 1和y 3z 2平行的直线方程33.x求直线y 3z与平面x y z10的夹角xy z034.确定直线x 3丄-和平面4x2y 2z 3间的位置关系273(二)3设有两个力，R 22j 2k和F2 i 3j ,同时作用于一个点上，试求它们的合力F的大小和方向。4. 设向量a的两个方向余弦为cos 1， cos ,又忖 6，求 a的坐标。个坐标平面的交角分别为2 2 2COS cos cos6. 证明a b7.证明a垂直于a b c a c b.8. 已知三点 A 1,0,0，B 3,1,1 ,C 2,0,1 ,且 BC a , CA b，AB C，求（1）a与b的夹角；(2) a在c上的射影。9.试用向量证明直径所对的圆周是直角10. 设a 3,5, 2 , b 2,1,4，问与 有怎样的关系，能使 垂直?21，z 016211 .已知椭球面的三轴分别与三坐标轴重合， 且通过椭圆与点M 1,2,23，求这个椭球面的方程。2x12.画出双曲抛物面a27 2z与单叶双曲面2 x 2 a2 y b22 z 2 c1的图形。13.求出球面x2 y2z28与旋转抛物面x22z的交线。14.将曲线的一般方程99化为参数方程。15.求平行于向量1,1,1且与球面x21相切的直线所生成的柱面方程。16.求过点1,2,1而与直线x 2y zx2x y z 0 勺y平行的平面万x y z 0个人收集整理勿做商业用途17. 求点1,2,0在平面x 2y z 1 0上的投影。18. 求点P 3, 1,2到直线X y Z 10的距离。2x y z 40（三）1 .设一直线上三点A、B、 P满足AP PB (1), O是空间任意一点，求证:OP A OB1第1题2.证明第二分配律 a b a b成立。3.设a， b， e为单位向量，且满足a b0，求 a b be c a。4. 在杠杆上支点0的一侧与点0的距离为治的点R处，有一与OR成角1的 力作用着；在0的另一侧与点0的距离X2的点P2处，有一与0月成角2的力 F2作用着(如图)，问1、 2、X X2、|吋、卩2符合怎样的条件才能使杠杆保 持平衡？5. 试用向量证明不等式：va2a；afpb2b2b2aba?b2a?!,其中a1、a2、a3、d、b?、b3为任意实数，并指出等号成立的条件。x a cos6. 求螺旋线y as in ，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。z b7. 求上半球0 z , a2 x2 y2，与圆柱体x2 y2 ax ( a 0 )的公共部 分在xoy面和xoz面上的投影。8. 作出曲面z 4 x2与平面2x y 4，三坐标面所围的立体，在第一卦限 部分的立体图形。9 .设直线I :x y b 0x ay z 3,在平面上，而平面与曲面z x2 y2相切于1, 2,5，求a，b的值.个人收集整理勿做商业用途10.求通过点x y zx 1 y 2 z 3 zP 1,1,1且与两直线h :，12：都1 z 3214相交的直线方程.1.a , b和c是设互不共线的三向量，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。2.设 AB 2a 10b, BC 2a 8b , CD 3a b，证明 A、B、D 三点共