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第26讲 进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制中运算问题,我们是关心这个数字,即为几进制对于进位制我们要注意本质是:进制就是逢进一 但是,作为数论的一部分,具体到每道题则其方法还是较复杂的说明:在本讲中的数字,不特加说明,均为十进制典型问题1在几进制中有413=100【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题:不管在几进制均有(4)(3)=(12)但是,式中为100,尾数为0 也就是说已经将12全部进到上一位 所以说进位制为12的约数,也就是12,6,4,3,2 但是出现了4,所以不可能是4,3,2进制 我们知道(4)(13)=(52),因52 100,也就是说不到10就已经进位,才能是100,于是我们知道10 所以,只能是62在三进制中的数12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制,那运算量很大 注意到,三进制进动两位则我们注意到进动了3个3,于是为9所以变为遇9进1也就是九进制 于是,两个数一组,两个数一组,每两个数改写为九进制,如下表: 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以,首位为5 评注:若原为进制的数,转化为进制,则从右往左数每个数一组化为进制 如:2进制转化为8进制,2=8,则从右往左数每3个数一组化为8进制 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)3在6进制中有三位数,化为9进制为,求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 ()=626+=36+6+; ()=92+9+=81+9+ 所以36+6+=81+9+;于是35=3b+80; 因为35是5的倍数,80也是5的倍数所以3也必须是5的倍数,又(3,5)=1 所以,=0或5 当=0,则35=80;则7=16;(7,16)=1,并且、0,所以=16,=7: 但是在6,9进制,不可以有一个数字为16 当=5,则35=35+80;则7=3+16;mod 7后,3+20 所以=2或者2+7(为整数)因为有6进制,所以不可能有9或者9以上的数,于是=2 于是,35=15+802;=5 于是() =(552)=562+56+2=212 所以这个三位数在十进制中为2124设1987可以在进制中写成三位数,且=1+9+8+7,试确定出所有可能的、及 【分析与解】 我们注意 -得:(-1)+(-1)=1987-25 则(-1)(+1)+(-1)=1962, 即(-1)(+1)+=1962 所以,1962是(-1)的倍数 1962=29109:当-1=9时,=10,显然不满足; 当-1=18时,=19,则(-1)(+1)+=18(20+)=1962;则20+=109,所以, 显然,当=109不满足,=2109不满足,当=9109也不满足 于是为(59B)=(1987),B代表115下面加法算式中不同字母代表不同的数字,试判定下面算式是什么进制,A、B、C、D的和为多少? 【分析与解】 于是,我们知道=4,所以为4进制,则 A+B+C+D=3+1+2+0=66. 一个非零自然数,如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数,则称之为“坏数”.例如:18=(10010)2是“坏数”试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制: (1024)=2=(10000000000)2 于是,在二进制中为11位数,但是我们只用看10位数中情况 并且,我们把不足10位数的在前面补上0,如=则,可以含2个l,4个1,6个1,8个l,10个1于是为=45+210+210+45+1=511于是,小于1024的“坏数”有511个. 7计算:26的余数 【分析与解】= 26=(222)所以,26=(222)(222)整除(222),20033:6672,所以余(22)=8所以余数为88一个10进制的三位数,把它分别化为9进制和8进制数后,就又得到了2个三位数老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个? 【分析与解】 我们设(3)=(4)=(5); 我们知道(4) 在(400)(488)之间,也就是492592-1,也就是324406; 还知道(5) 在(500)(577)之间,也就是582682-1,也就是320383; 又知道(3) 在(300)(399)之间 所以,这样的三位数应该在324383之间,于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗,一只猴子第一天拿走一颗花生,从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走,共需多少天? 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时,这一天它又重新拿走一颗开始,按原规律进行新的一轮如此继续,那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天? 【分析与解】 我们注意到每天12348163264前若干天的和220042前1天为1,前2天为21,前3天是22,所以前11天为2,前12天是2,也就是说不够第11天拿的,但是根据题中条件知所以共需12天. 每天11248163264前若干天的和1248163264128改写为2进制110100100010000100000100000010000000 2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天
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