第24讲选修42：矩阵与变换题型一|二阶矩阵与线性变换二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2,1)分别变成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy4.求直线l的方程解(1)设二阶矩阵M.依题意，2分也就是，且3分解得a1，b2，c3，d4，因此所求矩阵M.4分(2)M，坐标变换公式为6分(x，y)是直线m：xy4上的点(x2y)(3x4y)4，8分即xy20，直线l的方程为xy20.10分【名师点评】1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算相结合命题包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等2(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、变换后的曲线方程三个要素知其二可求第三个(2)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆1已知矩阵A，B，向量，若AB，求实数x，y的值解A，B，5分由AB得解得x，y4.10分2(2016苏州期中)设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.求实数a，b的值解设曲线2x22xyy21上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P(x，y)，则，5分所以8分因为x2y21，所以(ax)2(bxy)21，即(a2b2)x22bxyy21，所以由于a0，得ab1.10分题型二|二阶矩阵的逆矩阵与逆变换已知矩阵A.(1)求逆矩阵A1；(2)若二阶矩阵X满足AX，试求矩阵X.解(1)det(A)10.矩阵A是可逆的，2分A1.5分(2)AX，A1AXA1，7分X.10分【名师点评】1.逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法二是利用公式法2若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)1B1A1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当ABAC时，有BC，即此时矩阵乘法的消去律成立1若点A(a，b)(其中ab)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(b，a)，(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求曲线C：x2y21在矩阵N所对应变换的作用下得到的新的曲线C的方程【导学号：19592066】解(1)M，即，所以得3分即M，由M1M得M1.5分(2)矩阵N对应的线性变换为代入x2y21得4x2y21.10分2设M，N，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程解MN，设(x，y)是曲线ysinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x，y).5分则，所以xx，y2y，且x2x，yy，8分代入ysinx，得ysin2x，即y2sin2x.即曲线ysinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y2sin2x.10分题型三|二阶矩阵的特征值与特征向量(2016苏州模拟)求矩阵M的特征值和特征向量解特征多项式f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0，解得17，22.4分将17代入特征方程组，得即y2x，可取为属于特征值17的一个特征向量，6分同理，22时，特征方程组是即x4y，所以可取为属于特征值22的一个特征向量.8分综上所述，矩阵M有两个特征值17，22；属于17的一个特征向量为，属于22的一个特征向量为.10分【名师点评】求矩阵的特征值与特征向量如果是二阶矩阵A的特征值，则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f()0.此时，将代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解，于是，非零向量即为A的属于的一个特征向量