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数学奥赛辅导 第四讲 不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制(如整数、正整数或有理数)的方程.不定方程是数论的一个重要课题,也是一个非常困难和复杂的课题.1几类不定方程(1)一次不定方程在不定方程和不定方程组中,最简单的不定方程是整系数方程通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一:二元一次不定方程为整数.有整数解的充分必要条件是. 定理二:若为之一解,则方程全部解为. (t为整数)。(2)沛尔方程形如(,不是完全平方数)的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解;又设为该方程的正整数解中使最小的解,则其的全部正整数解由()给出. 只要有解,就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.满足的关系:; , (3)勾股方程这里只讨论勾股方程的正整数解,只需讨论满足的解,此时易知实际上两两互素. 这种两两互素的正整数解称为方程的本原解,也称为本原的勾股数。容易看出一奇一偶,无妨设为偶数,下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。定理三:方程满足,的全部正整数解可表为,其中,是满足一奇一偶,且的任意整数.4不定方程这是个四元二次方程,此方程也有不少用处,其全部正整数解极易求出:设,则,其中,故,所以. 因此方程的正整数解可表示为都是正整数,且.反过来,易知上述给出的都是解.也可采用如下便于记忆的推导:设是既约分数,即. 由于约分后得出,故,同理2不定方程一般的求解方法1奇偶分析法;2特殊模法;3不等式法;4换元法;5因式分解法6构造法(构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系,证明解无数个)7无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性,其解法也是多种的,上面仅是常用的一般方法.注:对无穷递降法的理解:以下面的问题为例:证明:方程无正整数解。证明:假设存在正整数解,其中最小的解记为。因为,根据勾股方程的通解公式有,其中一奇一偶,。从可以得到为奇数,为偶数,令,其中,所以。由得,即,又可以通过勾股方程的通解公式,注意到,所以,而,与的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。赛题精讲例1(1)求不定方程的所有解;(2)求不定方程的所有解。解析:(1)可以由辗转相除法得到,其实根据该方法可以得到必存在整数,使得。如,依次反代即可得到一个特解。(2),可以取,此时可以得到。从而得到一个特解。注:这个两个方法是基本方法。例2求所有满足方程的正整数解解析:首先从同余的角度可以发现必须为偶数,又的个位数必须为5,而的个位数为2,4,或6,的个位数为3,9,1,所以,对应的。这样可以令,可以得到,注意到均为奇数,两个的和和差必定是一个单偶,一个双偶,从而,目标集中于,观察有解。当时,两边取模17可以得到矛盾。所以仅有解例3为给定的一个整数,当为何值时,方程有正整数解?有正整数解时,求这个不定方程。解:可以变形为,这样,一个明确的事实,从而。这样我们得到。不妨假设两种情况。(1),从这个代数式发现,对单独讨论,有,这种情况共有解:;,注意到*式的等价性,又有解 (2)将等式转化为不等式,从同余的角度看有,所以,若,则,只能是。注意到*式的等价性,又有解 综上,可以有,对应的解分别为共9组解。例4证明:不定方程无整数解解析:给我们的第一个印象是同为奇数或同为偶数。若同为偶数,则也就是,进一步有为奇数,因为奇数的平方模8余1,矛盾。若同为奇数,则需进一步讨论,关键是取模为多少比较好讨论。结合费马小定理如,则,从而,但是。比较两者我们就可以到相应的结论例5求证:存在无数组解且每个解都大于2009。证明:观察有特解。从原方程可以得到。这说明从一组解可以得到另一组解。由于方程结构的对称性,不妨假设,则,主要是证明,这是因为。不断依次类推就可得到结论。例6(普特南竞赛题)求方程的整数解,其中是质数,是大于1的正整数,并证明你所得到的解是全部解. 解析:容易看到两个质数中肯定有一个为2,不妨假设,即。若,从余数去讨论,为奇数。,所以,提取公因数,有,从奇偶性可以看出这种情形方程无解。为偶数,注意到。,令,观察最后两项,只能, , ,从而综上,考察到对称性,原方程恰有两组解:例8(09湖北)求不定方程的正整数解的组数解 令,则先考虑不定方程满足的正整数解,当时,有,此方程满足的正整数解为当时,有,此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 又方程的正整数解的组数为,方程的正整数解的组数为,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为例8(09 巴尔干)求方程的正整数解。解析:首先,从而,为偶数。方程可以转化,。所以,即得,下面研究,当时,通过尝试的方法可以得到:,在考虑模7的余数,矛盾。所以,由此可以得到方程的解为。变式练习:(09 加拿大)已知为完全平方数,求解析:须为4的倍数,从而一个为奇数,一个为偶数。若,则,同上,应该有,当时,通过尝试的方法可以得到:, 矛盾,所以,满足条件的为仍然考虑例9:试证:当时,不存在个连续自然数,使得它们的平方和是完全平方数.解析:设是非负整数.假若结论不成立,即存在使即 记 则当时,分别由 和令,代入得即把代入后将分别得到但这是不可能的,故. 当时,由得 若则由知,,由于的任意性,所以只能有因此要使成立,只能,于是由知有,这是不可能的,故同理可证若,则由可得,这是不可能的,故综上,命题得证.
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