第二十七章第二十七章 相似相似 27.2.2 27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质探究新知ABCABC与与ABCABC的相似比是多少？的相似比是多少？ABCABC与与ABCABC的周长比是多少的周长比是多少?面积比是多少？面积比是多少？在在44正方形网格中正方形网格中看一看：看一看：ABCABC与与ABCABC有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？（相似）（相似）2 2101022215522ABCACB想一想：想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？关系？ABCABC已知已知:ABCABCABC,ABC,相似比为相似比为k.k.=k k2求证求证:ABC的周长的周长ABC的周长的周长=k ks ABCs ABC验一验：验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以证明吗？你能加以证明吗？探究新知ABCABC已知已知:ABCABCABC,ABC,相似比为相似比为k.k.=k k2求证求证:ABC的周长的周长ABC的周长的周长=k=ks ABCs ABC探究新知证明：证明：ABCABCA AB BC C,且相似比为且相似比为k（相似三角形的对应边成比例）（相似三角形的对应边成比例）AB=kAB,BC=kBC,AC=kAC 探究新知A AB BC CABC已知已知:ABCABCABC,ABC,相似比为相似比为k.k.=k k2求证求证:ABC的周长的周长ABC的周长的周长=k=ks ABCs ABCD DDD探究新知如图如图ADAD和和ADAD分别是分别是BCBC，B BC C边上的高。边上的高。ABC ABC A AB BC C,且相似比为且相似比为kB=B（相似三角形的对应角相等）（相似三角形的对应角相等）ADAD和和A AD D分别是分别是BCBC，B BC C边上的高。边上的高。ADB=ABC=90ABDABDA AB BD D（有两个角对应相等的两个三角形相似）（有两个角对应相等的两个三角形相似）证明：证明：探究新知 在在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长三角形的边长,周长周长,面积面积,角角,哪些放大为哪些放大为10倍倍?答答:三角形的边长三角形的边长,周长放大为周长放大为10倍倍.三角形的面积放大为三角形的面积放大为100倍倍.三角形的角大小不变三角形的角大小不变.探究新知已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比注：注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要求面积比要平方平方;而已知面积比，求相似比或而已知面积比，求相似比或周长比则要周长比则要开方开方。2 24 410010010010010000100001913132 2P115P115课内练习课内练习1 1探究新知做一做如图，如图，D D，E E分别是分别是ACAC，ABAB边上的点，边上的点，ADE=BADE=B，AGBCAGBC于点于点G G，AFDEAFDE于点于点F F，若，若AD=3AD=3，AB=5AB=5。求：（求：（1 1）;（2 2）ADEADE与与ABCABC的周长比的周长比;（3 3）ADEADE与与ABCABC的面积比。的面积比。例例1.1.如图是某市部分街道图，比例尺是如图是某市部分街道图，比例尺是1:100001:10000，请你估计三条，请你估计三条道路围成的三角形地块道路围成的三角形地块ABCABC的实际周长和面积的实际周长和面积.解：地图上的比例尺为解：地图上的比例尺为1 1：1000010000，就是地图上的，就是地图上的ABC与实际三角形地块与实际三角形地块的相似比为的相似比为1：10000，量得地图上，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。则地图上则地图上ABCABC的周长为的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)3.4+3.8+2.5=9.7(cm)A ABCD做一做三角形地块的实际周长为三角形地块的实际周长为9.7104cm，即，即970m。三角形地块的实际面积为三角形地块的实际面积为4.18108cm2,即即41800m2答：估计三角形地块的实际周长为答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为米，实际面积为41800平方米。平方米。P115 P115 课内练习课内练习2 2 3.82.2=4.18cm2地图上地图上ABCABC的面积为的面积为量得量得BCBC这上的高为这上的高为2.2cm2.2cm做一做实际问题某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为积为100100平方米，周长为平方米，周长为8080米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边ABAB的长由原来的的长由原来的3030米缩米缩短成短成1818米米.现在的问题是现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？你能够将上面生活中的你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？问题转化为数学问题吗？DE30m18mBCABACDE解解:如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,DE/BC,AB=30m,BD=18m,ABCABC的周长为的周长为80m80m，面积为，面积为100m100m2 2,求求ADEADE的周长和面积的周长和面积30m18m实际问题拓展延伸ADE1.过过E作作EF/AB交交BC于于F,其他条件不变，则其他条件不变，则EFC的面积等于多少？的面积等于多少？BDEF面积为多少？面积为多少？2.若设若设sABC=S,SADE=S1,SEFC=S2.请猜想：请猜想：S与与S1、S2之间存在怎样的关系？之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？你能加以验证吗？S =S =S1+S2BCF48m236m2163630m18m证明：证明：DE/BCADEABCABCS1S=(A CA E)2EF/ABEFCABCABCS2S=A CC E()2SSSS1 1=A CA ESSSS2 2A CC E=SSSSSS2 2SS1 1+=1SS1 1SS2 2+SS=拓展延伸探究活动已知已知ABC，如果要作与，如果要作与BC平行的平行的直线把直线把ABC划分成两部分，使这两划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比部分（三角形与四边形）的面积之比为为1：1，该怎么作？如果要使划分成，该怎么作？如果要使划分成的面积之比为的面积之比为1：2，又该怎么作？如，又该怎么作？如果要使划分成的面积之比为果要使划分成的面积之比为1；n,又又该怎么作？该怎么作？练习1 1、如图，、如图，中，中，则，则:四边形四边形:四边形四边形=_ .=_ .2.2.已知已知:梯形梯形ABCDABCD中中,AD,ADBC,AD=36,BC=60cm,AD=36,BC=60cm,延长两腰延长两腰BA,CDBA,CD交于点交于点O,OFO,OFBC,交AD于E,EF=32cm,cm,则则OF=_.OF=_.FABCDEO练习3 3、ABCABC中，中，AEAE是角平分线，是角平分线，D D是是ABAB上上的一点，的一点，CDCD交交AEAE于于G G，ACD=ACD=B B，且，且AC=2AD.AC=2AD.则则ACD _.它们的相它们的相似比似比k=_,ABCEDG G练习小结.这节课我们学到了哪些知识？这节课我们学到了哪些知识？.我们是用哪些方法获得这些知识的？我们是用哪些方法获得这些知识的？.通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？类比猜想ACBPFMNGEDS3S1S2 如图如图，DE/BC,FG/AB,MN/AC,DE/BC,FG/AB,MN/AC,且且DEDE、FGFG、MNMN交于点交于点P P。若记若记S SDPM=S1,S SPEF=S2,S SGNP=S3S SABC=S、S与与S1、S2、S3之间是否也有之间是否也有类似结论？猜想并加以验证。探究探究