函数的值域与方程有解的关系枣阳市第二中学 罗吉兵函数的值域是指当自变量在定义域内 取“遍”所有值时所得到的函数值的集合。根据值域的概念，对于函数y=f(x)而言，y在值域内任取一个值，都有定义域内的x值(可以不止一个)与之对应，即关于x的方程f(x)-y=0在定义域内有解。而对于不属于值域的y值，则在定义域内没有x值与之对应，即关于x的方程f(x)-y=0在定义域内无解，这样我们就得到了一个关于函数与方程之间的一个等价关系：函数y=f(x)，xD(D为定义域)的值域就是关于x的方程f(x)-y=0在D内有解的y的取值范围，反之亦然。用这个命题，可以解决一些函数值域及方程有解的问题。1.将函数值域转化为方程有解问题 例1 求函数y=的值域。解 由y=可得， ，即 的三角方程有解的条件是。解得。故原函数的值域为。例2 求函数y=x-的值域。解 原函数可化为x-y=，即xy且(x-y)=2x+1，亦即 xy且x+2xy+1-y=0，原题即求关于x的方程x+2xy+1-y=0在(y, +)有解的条件。记f(x)=x+2xy+1-y=0，显然有f(y)=2y+10。则依题意可得，解得。故原函数的值域为。2. 将方程有解的问题转化为值域问题例3 已知关于x的方程2+a2+a+1=0有实根。求实数a的取值范围。分析 本题可以直接从方程的角度着手。但若将方程变形为a=-，即将a视为x的函数，将原问题转化为求此函数的值域，不失为一种很好的方法。令2+1=t， 则t1，于是此即为所求的a的取值范围。例4 求使方程有实数解的实数m的取值范围。解 原方程等价于 原问题等价于方程（1）在（-1，1）内有解的实数m的取值范围，即等价于函数的值域。令1-x=t, 则t(0,2).故m的取值范围为.