抛物线的简单几何性质应用学案【复习巩固】1. _叫做抛物线；_叫做抛物线的焦点，_叫做抛物线的准线；焦点在轴上抛物线的标准方程为_，其焦点坐标为_，准线方程为_，其中的几何意义为_.2. 以为焦点的抛物线的标准方程为_，准线方程为_；以为焦点的抛物线的标准方程为_，准线方程为_；以为焦点的抛物线的标准方程为_，准线方程为_；以为焦点的抛物线的标准方程为_，准线方程为_.3. 完成下表：标准方程xyOFxyOFxyOFxyOF图 象焦点坐标准线方程p的几何意义4. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 5. 一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（ ）A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，2)6. 已知F为抛物线的焦点，定点Q（2，1）点P在抛物线上，要使的值最小，点P的坐标为（ ）A. (0，0) B. C. D. (2，2)7. 已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m时，水面宽为8m，当水面升高1m后，水面宽为_8. 已知抛物线，过点作直线交抛物线于、两点，给出下列结论：；的面积的最小值为；，其中正确的结论是_.【讲解新课】一、抛物线的简单几何性质1. 范围：，2. 对称轴：以代方程不变，所以这条抛物线关于轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。3 顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线的顶点为坐标原点.4. 离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率.同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。二、小结：抛物线的简单几何性质一览表标准方程y22px（p0）y22px（p0）X22py（p0）x22py（p0）图 象xyOFxyOFxyOFxyOF范 围x0x0y0y0焦点坐标F（，0）F（，0）F（0，）F（0，）顶点坐标O（0，0）O（0，0）O（0，0）O（0，0）离 心 率e1e1e1e1对 称 轴x轴x轴y轴y轴焦 半 径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0准线方程xxyyp的几何意义抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大通 径过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p三、焦点弦及其性质1抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。2抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y22px（p0），过抛物线的焦点F（，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 y1y2p2； x1x2； |AB|x1x2p； |AB|（其中为直线的倾斜角）； ； 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则A/FB/900； 以弦AB为直径的圆与准线相切。 证明：当直线过焦点且垂直于x轴时，A（，p）、B（，p），因此y1y2p2成立； 当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k0，直线AB的方程为：yk（x）；由此的x；把x代入y22px消去x得：ky22pykp20，y1y2p2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y22px（p0）上，y122px1，y222px2；两式相乘得(y1y2)22px12px2p44p2x1x2；从而x1x2过A、B两点作准线x的垂线，垂足分别为A/、B/，则|AB|AF|BF|AA/|BB/|x1x2x1x2p当900时，显然成立；当900时，则直线AB的方程为：yk（x）；把yk（x）代入y22px消去y得：k2x2p(k22)x0；x1x2，x1x2；|AB|x1x2|。A（x1，y1）、B（x2，y2）xyOAA/B/BF题图过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/， 由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|AA/|，|BF|BB/| B/BF18002B/FB，A/AF18002A/FAxyOAA/B/BF题图NN/ 由AA/BB/ B/BFA/AF1800 即：18002B/FB18002A/FA1800B/FBA/FA900设N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， 垂足分别为A/、B/、N/，N为线段AB的中点，则|NN/| 以AB为直径的圆与准线相切。【例题讲解】【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程【例1】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过，求它的标准方程。【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过，求它的标准方程。【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴的正半轴上，若抛物线上一动点P到、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程。【变式训练】抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。【题型二】有关焦点弦的问题【例3】斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。【变式训练】1.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且，求AB所在的直线方程。2. 过点作抛物线的弦AB，恰被Q平分，求AB所在的直线方程。【题型三】直线与抛物线一、 直线与抛物线的位置关系1 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。即把xmyn代入y22px（p0）消去x得：y22pmy2pn0，当方程的判别式0直线与抛物线相切；2 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行；（2）直线与抛物线有两个不同的交点方程的判别式0；3. 直线与抛物线相离方程的判别式0。【例4】已知直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程。【变式训练】抛物线有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是，斜边长为，求此抛物线的方程。【题型四】定值问题【例5】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，求证：（1）为定值；（2）为定值。例1图xyABOMP【题型五】直线过定点问题【例6】A、B是抛物线y22px（p0）上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（1） 直线AB经过一个定点；（2） 求O在线段AB上的射影M的轨迹方程。例3图xyBOAMF【例7】抛物线y22px（p0）上有两个动点A、B及一定点M（p，p），F为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。例1图xyPFOLANPN【题型六】抛物线中的最值问题 【例8】如图所示，若A（3，2），F为抛物线y22x的焦点，求|PF|PA|的最小值，以及取得最小值时点P的坐标。【变式训练】1.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求AB中点到轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。2. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长，并求该三角形外接圆的方程。2.3.2抛物线的简单集合性质应用学案第 1 页2012/2/1