课程星级：知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1三、椭圆的性质（以为例）1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： 5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0e1）的点的轨迹为椭圆（）。即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。焦点在x轴上：（ab0）准线方程：焦点在y轴上：（ab0）准线方程：6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，五、其他结论需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF。7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、 弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线需要双曲线的详细资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P2、弦长公式：3、焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+， (2)，p2(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为，则=（5）+=四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当时，轨迹为圆（，当时）。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换： 2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解： 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为【例】双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_。解：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4，依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】当取何值时，直线：与椭圆相切，相交，相离？解： 代入得化简得当即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相交；当，即或时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，则(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为： =1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】” 解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py，将A点坐标代入，得100=2p(4)，解得p=12。5，于是抛物线方程为x2=25y。由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0。16，从而|EE|=(0.16)(4)=3.84。故最长支柱长应为3.84米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，将m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设 又 两式相减，得 又即将需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”由得解得 故所有椭圆方程【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。解法一：由e=，得，从而a2=2b2，c