备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数附答案解析一、二次函数1已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MAMC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可试题解析：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=x+3，设点P（x，x24x+3）PDy轴，点D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，当x=时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD=45+45=90，此时，点P（2，1）综上所述：点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：，直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=32+3=3，点M（2，3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，3），使|MAMC|最大点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键2如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标【答案】（1）y=x2+2x+3（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由见解析；（3）y=x+3；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）过点P作PFy轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论【详解】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c，得，解得：，抛物线的表达式为y=x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，抛物线的表达式为y=x2+2x+3，点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，点P的横坐标t=120=2，又t2，不存在；（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n（m0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得，解得：，直线BC的解析式为y=x+3，点P的坐标为（t，t2+2t+3），点F的坐标为（t，t+3），PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，S=PFOB=t2+t=（t）2+；0，当t=时，S取最大值，最大值为点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），线段BC=，P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t2两种情况考虑；（3）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值3在平面直角坐标系中，有两点、，若满足：当时，；当时，则称点为点的“友好点”.（1）点的“友好点”的坐标是_.（2）点是直线上的一点，点是点的“友好点”.当点与点重合时，求点的坐标.当点与点不重合时，求线段的长度随着的增大而减小时，的取值范围.【答案】（1）；（2）点的坐标是或；当或时，的长度随着的增大而减小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线上，得到；当点和点重合，得解出即可，当点A和点B不重合， 且所以对a分情况讨论，1、当或时，所以当a时，的长度随着的增大而减小，即取2当时，当时，的长度随着的增大而减小，即取 综上，当或时，的长度随着的增大而减小【详解】（1）点，41，根据“友好点”定义，得到点的“友好点”的坐标是（2）点是直线上的一点，根据友好点的定义，点的坐标为， 当点和点重合，解得或 当时，；当时，点的坐标是或 当点A和点B不重合，且当或时， 当a时，的长度随着的增大而减小，取当时， 当时，的长度随着的增大而减小，取 综上，当或时，的长度随着的增大而减小【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论4如图，直线y-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线yax2+bx3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DEx轴于点E，连接AD，DC设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若EADOBC，请直接写出此时点D的坐标【答案】(1)yx2+x3；(2)SADC=(m+3)2+；ADC的面积最大值为；此时D(3，)；(3)满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，根据SADCSADF+SDFC求出解析式，再求最值；（3）当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在yx3中，当y0时，x6，即点A的坐标为：(6，0)，将A(6，0)，B(2，0)代入yax2+bx3得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+x3；(2)设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，设DE与AC的交点为点F.DFm3(m2+m3)m2m，SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA(m2m)6m2m(m+3)2+，a0，抛物线开口向下，当m3时，SADC存在最大值，又当m3时，m2+m3，存在点D(3，)，使得ADC的面积最大，最大值为；(3)当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，由，解得或，此时直线AD与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21) 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题.5如图，抛物线yax2+bx+4与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE2：1，求E点坐标；（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若