卓越考研内部资料（绝密）卓而优 越则成卓越考研教研组汇编12 极限A 基本内容一、极限的概念与基本性质1、极限的定义(1)数列极限: ,当时.任给，存在正整数，当时，就有。(2)函数极限: 任给，存在正数，当时，就有（用表示在的右极限值）任给，存在正数，当时，就有（用表示在的左极限值） 任给，存在正数，当时，就有 其中称为在处右极限值，称为在处左极限值。注：函数极限存在的充要条件：。 任给，存在正数，当时，就有 任给，存在正整，当时，就有任给，存在正数，当时，就有 注：2、极限的基本性质(1) (唯一性)设，则(2)（不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性） (3)（局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。二、极限的四则运算及幂指运算(1)四则运算设， 则（1） （2） （3） （4） 注：(1)存在，(2) （2）幂指函数的极限设，则 三、极限存在准则1、夹逼准则若存在，当时，且则1、 单调有界准则单调有界数列必有极限。四、两个重要极限公式(1) (2) 五、无穷小与无穷大1、无穷小、无穷大的定义 若，则称为无穷小，则称为无穷大。注：(1)无穷小、无穷大与的变化过程有关，当时，为无穷小，而或其它时，不是无穷小 (2)无穷大与无界的关系：无穷大量无界变量，反之不成立。2、无穷小与无穷大的关系 在的同一个变化过程中 若为无穷大，则为无穷小， 若为无穷小，且，则为无穷大3、无穷小与极限的关系 其中4、无穷小的比较设，且 （1），称是比高阶的无穷小，记以 (2) ,称是比低阶的无穷小。 （3），称与是同阶无穷小。 （4），称与是等价无穷小，记以 (5) 无穷小的阶：若，称是的阶无穷小。5、常见的等价无穷小 当时 ， ，6无穷小的重要性质（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.B 典型例题一、求极限：1通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1、求下列极限 （1） (2) 例2、设，求 例3、求例4、设，当解：例5当时，函数的极限（ ）（A）等于2. （B）等于0.（C）为（D）不存在但不为2、用两个重要公式例1、求 例2、求解一：原式 解二：原式 例3、求 例4、求下列极限 （1） （2） （3） （4） 例5、求下列极限(1) （2）(3) （4）3、用夹逼定理求极限例1、例2、4、利用单调有界原理例1、设求极限. 例1、 证明数列的极限存在。5、利用等价无穷小代换例1、例2、求.6、求分段函数的极限例 （1）（2）二、无穷小量阶的比较例1、当的 （A）低阶无穷小。（B）高阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶但非等价无穷小。例2、若是等价无穷小，则