几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法:例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，AABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 2 (AB+AC)分析：要证明AD2AD中，出现了 2AD,即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DE=AD,连CE，贝V AE=2AD。在厶ADB和厶EDC中，AD= DEZADB二 ZEDCBD= DCADB 竺EDC(SAS)AB=CE又在 ACE中，AC+CEAE1 AC+AB2AD，即 ADab, ad=dc, bd平分/ABC.求证：ZBAD+ZBCD=180 .分析：因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图1-2.BD 平分 /ABC,aDE=DF,在 RtADE 与 RtCDF 中,.RtAADE竺RtCDF(HL), ./DAE=ZDCF.又 ZBAD+ZDAE=180,./BAD+ZDCF=180,即 ZBAD+/BCD=180例2.如图 2-1, AD II BC，点 E在线段 AB 上, ZADE=ZCDE,/DCE=ZECB.求证： CD=AD+BC.图 4-1NBE+DF=AE.2、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180，求证：AD 平分 ZCDE三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角 形。E例：如图1：已知AD为厶ABC的中线，且Z1 = Z2, Z3=Z4, 求证：BE + CFEF。2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线 段，构造全等三角形。例：如图2： AD为AABC的中线，且Z1 = Z2,Z3=Z4, 求证：BE+CFEF练习：已知AABC, AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边 为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 4，求证 EF=2AD。3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC=BD, AD丄AC于A, BC丄BD于B, 求证：AD=BCCB图74、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三 角形来解决。例如：如图 7： ABCD, ADBC 求证：AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段 延长。例如：如图 8：在 RtABC 中，AB=AC,ZBAC=90,Z1 = Z2, CE丄BD的延长于E。求证：BD = 2CE6 连接已知点,构造全等三角形。例如：已知：如图9； AC、BD相交于O点，且AB=DC, AC=BD，求证：NA=ND。 九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB=DC,NA=ND 求证：NABC=NDCB。