第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总 分决赛试题A（初一组）（时间: 2010年4月10日10:0011:30）一、填空题 (每题10分, 共80分) 1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果,那么在点A, B, C中, 居中的是点 .2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 .3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km.4.把自然数 分组, 要求每组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成 组.5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n有 个.6.已知 , 则的值等于 .7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且, 那么a等于 .8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.10.已知k 是满足 的整数, 并且使二元一次方程组有整数解. 问: 这样的整数k有多少个?11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若, 求的可能值.12.解方程,其中 x 表示不大于x的最大整数.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的. 求六边形的面积与六边形ABCDEF的面积之比.装订线14.一个单项式加上多项式 后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单项式.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（初一组）一、填空 (每题10分, 共80分)题号1234567答案A326805032858. 解答. 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 不能.解答. 假设存在7个整数排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则, , , , , .将上述7式相加, 得所以,与为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.10. 答案: 2.解答. 直接解方程组,.当 (其中m和n是整数) (1)时方程组有整数解. 消去上面方程中的k, 得到 . (2)从(2)解得 (其中l是整数). (3)将(3)代入(1)中一个方程, .解不等式, , .因此共有2个k值使原方程有整数解.11. 答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答）解答. 因为为质数, 所以为最简真分数, 所以.同理可得.所以首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设. 因为=,所以p和 q可以是以下情形:, 对应的;, 对应的.12. 答案: .解答. 当时, 有. 当时, 有. 由于,可以断言, 如果方程有正数解 x, 则. 因此, 是不可能的.另一方面,可以断言, 如果方程有负数解 x, 则. 因此, , , .故原方程的解为.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13. 答案: .解答. 记六边形的面积为S, 图中阴影部分的面积为S1; 记 ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和为S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3, 由题设条件可知S2 =, S1 =.在计算S2时, 加了两次S3, 所以 , 从而得.又,所以.故.14. 答案: , 或8x, 或32x, 或.解答. 设所求的单项式是 , .共有3个不为同类项的单项式, 如果 , 则多项式+中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到.所求的单项式为, 或8x, 或32x, 或, 再无其他解答.