7.2空间几何体的表面积与体积知识梳理1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2柱、锥、台和球的表面积和体积诊断自测1概念思辨(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1) (必修A2P28A组T4)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.(2)(必修A2P29B组T1)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_答案7216解析由三视图易知该几何体是由一个长方体和一个直四棱柱构成的组合体(如图所示)其表面积为243222(26)22242467216.3小题热身(1)(2015北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4 C22 D5答案C解析根据三视图画出该空间几何体的立体图：SABC222；SABD1；SCBD1；SACD2，所以S表SABCSABDSCBDSACD222.故选C.(2)(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_ cm3.答案7232解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中ABBC2 cm，BD4 cm，所以该几何体的体积V224232 cm3，表面积S(223243)236272 cm2.题型1空间几何体的侧面积与表面积(2016全国卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32根据组合体构成部分，分别求其表面积答案C解析由三视图可得圆锥的母线长为4，S圆锥侧248.又S圆柱侧22416，S圆柱底4，该几何体的表面积为816428.故选C.方法技巧几何体表面积的求法1简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删或补2若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系提醒：求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积要减去冲关针对训练(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81答案B解析由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为3的平行六面体，则该几何体的表面积S2322332365418.故选B.题型2空间几何体的体积角度1根据几何体的三视图计算体积(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3还原几何体，分清组合体构成部分答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体的体积V12331.故选A.角度2根据几何体的直观图计算体积中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是()A110 B116 C118 D120此题应采用割补法求解答案D解析如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8，体积V158120.故选D.方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解如角度1典例2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解如角度2典例冲关针对训练1(2014全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.答案C解析由三视图知该零件是两个圆柱的组合体一个圆柱的底面半径为2 cm，高为4 cm；另一个圆柱的底面半径为3 cm，高为2 cm.则零件的体积V122432234(cm3)而毛坯的体积V32654(cm3)，因此切削掉部分的体积V2VV1543420(cm3)，所以.故选C.2(2017青岛模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的积体为_答案96解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.题型3几何体与球的切、接问题(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256变化中寻求不变的量答案C解析SOAB是定值，且VOABCVCOAB，当OC平面OAB时，VCOAB最大，即VOABC最大设球O的半径为R，则(VOABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R2462144.故选C.条件探究1若典例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球所以体对角线BC1的长为球O的直径因此2R13.故S球4R2169.条件探究2若将典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.方法技巧空间几何体与球接、切问题的求解方法1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题如条件探究1.冲关针对训练(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.答案B解析设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r .圆柱的体积为Vr2h1.故选B.1.(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36答案B解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.2(2017山西五校3月联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5000立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5000立方尺故选A.3(2018河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()A. B.C. D.答案D解析作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1x，则OB1SO2x.易知B1G1，在RtOB1G1中，OBG1BOG，则(2x)2x22，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积为S4R2.故选D.4(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_