【标题】数学物理方法在物理学中的应用 【作者】何枫林 【关键词】数学物理方法物理应用 【指导老师】孙婷雅 【专业】物理学 【正文】1.绪论1.1概述1大家知道，数学上的每一个新概念，每一种新理论，归根到底都是人们在生产实践和科学实验中、从某种物理模型里面抽象出来的，有一些规律就是人们在对一些物理现象、物理过程、物理状态进行研究而归纳、总结出来的，我们把从物理问题中归结出来的物理规律用数学方程表达出来的方法，称为数学物理方法。1.2物理与数学的联系2数学、物理本是科学的孪生子，有着共同的根源，几个世纪以来，它们沿着各自的脉络发展，至今已门类林立，内容迥异。然而，今天应用的数学物理方法已经不在局限于18世纪的导出的方程。这些方程反映相关物理现象的本质和运动的基本规律。它们的确立，体现了人们的认识从表象走向本质的飞跃，是这些学科走向成熟的一个标志。当我们沉湎于具体方程的研究和学习时，往往并不满足于这些方程抽象的表述形式和单纯的理论探讨，而迫切需要熟悉它们物理现象的本源，了解它们的物理和数学的直观意义，以便进一步开拓思维，把握实质，发现内在联系，找到新的灵感。但要做到这一点，在今天已经太不容易了，因为他们面前是一条横在数学与物理学两大学科之间的鸿沟。所以人们迫切需要建造一座把物理学与数学沟通起来桥梁数学物理方法。自然界中的一切事物都是质和量的统一体,认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察,量变到质变是事物发展的普遍规律。反映事物本质属性及其规律的物理学,不仅应有正确的定性描述,还必须准确地刻画出量的变化规律,而且也只有当物理学由定性进入到定量的阶段,才算是真正把握住了事物的质,才标志着物理学已经成熟,这当然离不开数学。物理学逐渐发展成为一门成熟的自然科学,它不仅用实验方法代替了以往整体的观察法而且引进了数学方法。在物理学研究中针对研究对象不同的特点,运用数学概念、方法和技巧,对研究对象进行量的分析、描述、计算和推导,从而找出能以数学形式表达事物的量的规律性。1.3数学方法对物理研究的贡献316世纪以后,数学在物理科学中取得的成就有目共睹:从牛顿的经典力学到狭义相对论以及广义相对论;从麦克斯韦方程组中的电与磁到量子力学中波粒二象性的对立统一,数学无时不在帮助陈述与帮助揭示自然的奥秘。近代科学是以物理科学为标志的,其重要原因之一,就是它能以精确的数学形式表示出物体的运动规律,开创了科学实验同数学相结合的方法。现代物理学则发展到了与数学须臾不离的地步,现代物理的研究对象离直观越来越远,需要反映其内在联系的自然现象或实验事实越来越复杂,欲想对其进行定量分析和深入研究,就非用数学不可,用数学不但能准确地反映出已知事物的本质联系,而且能做出科学预见,取得重大的突破。现代物理的一切重大发现,都与数学的应用密切相关。物理科学发展对数学的需要恰好在数学发展上起了直接的决定性的推动作用,如微积分是牛顿在处理物理问题时,用已有的数学知识没法解决的前提下创立的。运用数学物理方法可以通过认识事物的量来认识事物的规律性，然而这种方法进一步提供数量的分析和计算的方法。例如：（1）开普勒根据第谷积累的大量关于行星运动的观测资料，应用圆锥曲线理论，经过大量演算建立行星变速运动的椭圆轨道模型终于发现了行星到太阳的距离R跟行星绕日运行的周期T的关系（恒量）。（2）太阳系字远的行星之一的海王星是1846年在数学计算的基础上被发现的。天文学家阿达姆和勒未累分析了天王星的运动规律性，得出结论说：这种规律是由其它行星的引力而发生的。勒未累根据力学定律和引力定律计算出这颗行星应该在何处，他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所指出的位子上看到了这颗行星。这个发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼体系的胜利，而且也是数学计算胜利。（3）在频谱分析中，将周期函数进行傅里叶展开，它表明物理过程是：在力学或声学上，把周期性复杂振动分解为一系列各种频率的谐振波动；在电学上，把交变电压或电流分解为一系列谐变电压或电流；在无线电电子学上，将信号波形分解基波和谐波等等。（4）在非线性理论的应用研究中，运用Maple语言程序计算了具有耦合特性的非线性Sehr0dinger方程组的行波精确解及其约束条件方程，并以图表的形式定量分析了行波精确解组的特性。还例如：法国文学家勒威耶根据天王星运动轨道，根据万有引力定律计算出来的结果总有比较大的偏离，便运用天体力学理论结合数学分析和计算，预算天王星轨道外面存在一颗未被发现的行星，并精确计算了该行星的运动轨道以及他在各个时刻的位置。1846年9月23日晚上，德国天文学家加勒巴望远镜对准了勒威耶所预言的位置立刻发现了后来被命名为海王星的这颗行星。又如电磁波的存在并预言了他以光速传播，是由麦克斯韦用数学“推导”出来的，15年后才有德国物理学家赫兹用实验证实；爱因斯坦通过质能关系式的研究，预示了原子核反应中质量亏损所产生的巨大能量。以上事实表明，物理学中的许多重要结论都是根据已知原理，运用数学运算、交换法则。经过严密的数学推理证明后得到。1.4数学物理方法的研究现状长期以来，数学物理方法课程讲授上个世纪已基本形成的关于三种典型偏微分方程的经典解法和理论以及解析函数的积分理论与级数理论，并适当介绍贝塞尔函数和勒让德多项式的一些基本知识与应用。然而近几十年来，由于数学的基础理论，特别是拓扑学与泛函分析的迅速发展，科学技术的突飞猛进，涉及到处理数学物理方程的一些新的理论和新的方法不断涌现，使数学物理方法发生了巨大的变化。现代物理学发展到了与数学分不开的地步，现代物理学的研究离直观越来越远，需要反映其内在联系的自然现象或实验越来越复杂，欲想对其进行定量分析和深入研究就非用数学不可。1.5本文研究的内容和目的意义“数学物理方法”是物理学类、电子信息科学类、天文学类、地球物理学类、大气科学类、海洋科学类、力学类、材料科学类和环境科学类等专业类的必修或限定选修课程。本课程一般包含复变函数和数学物理方程两部分内容，其基础理论属于分析数学，其应用部分涉及物理及工程技术等其它学科。本课程的直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业基础课和专业课做准备。长远的目标是训练学生的数学思想及运用数学工具解决实际问题的能力。当然更高的要求是开拓创新思想的培养。数学物理方法是研究物理学的重要工具，应用数学物理方法解题实际上是把物理问题转化为数学问题，然后用数学方法进行解答。通过建立数学模型来解答物理实际问题能够使问题简单化。实践证明：在处理物理学问题时，若能充分借助数学工具的作用，则对激发学生的学习兴趣，培养学生创新精神和创新能力，提高学生解决实际问题的能力起到积极的作用。从而让数学物理方法在物理的应用中更具创新的价值。2.数学物理方法在物理研究中的作用2.1物理学以数学为工具由以上实践证明：数学物理方法在物理研究中的应用有着重大而深远的意义。然而物理学的研究和应用,都要求它完全以数学为工具,否则就失去了意义。从形式上说,一个物理理论体系就是一个数学体系,具有高度的抽象性,严密的逻辑性和丰富的辩证性,这三方面使得数学不仅成为物理学的表现形式,而且成为人们认识和掌握物理学的主要工具。所以,数学的本质和特点以及物理学的实际决定了数学是物理学的工具。物理学有着非常广泛的应用,并且在许多情况下都要借助于数学工具,从通常的工程建筑到尖端宇航技术无不与物理理论相联系,但在具体运用过程中又要借助于数学工具。2.2数学物理方法在物理解题中的作用45求解物理习题的过程属于物理理论在实际中应用的范畴之内,所以,在这过程中同样离不开数学知识,其作用具体体现在以下几个方面。把物理问题向数学问题转化的过程当中,除了选择合适的物理方法,还要灵活地运用数学知识,至于由数学问题推理计算求出结果的过程,更加明显地说明它是一个数学过程。可见,凡是需要定量分析的物理习题,数学运用是必不可少的。把物理问题转化为数学问题,就是为物理问题寻找一个相应的数学模型,以数学为语言表达出物理量之间的相互关系,其一般步骤为:(1)利用数学知识丰富、深化物理模型。如运用已知数据进行简化处理,进行物理过程的定量分析等,通过找出数量关系,给物理模型加入定量的因素。(2)用符号来表示物理量。符号是物理内容的载体,它把复杂的事物代码化,成为可以一目了然加以把握的感知对象。(3)根据物理规律列出问题中物理量间的关系,最后把物理问题转化为数学问题,实现了物理过程的数学转化。在实际当中利用现代数学物理方法解决物理问题，既要其对物理基本概念和规律有正确的理解，又要求对数学理论和技巧能灵活的应用，把具体的物理问题抽象为数学问题，并进一步应用数学手段加以正确的解答，最后得出其规律。后面我们将用分离变量法、达朗贝尔法、格林函数法、积分变量法解定解问题来描述数学物理方法在物理学中的应用。2.3小结：本章主要阐述了数学物理方法在物理研究中的作用，（包括：物理学以数学为依据和数学物理方法仔物理解题中的作用）。3.根据物理现象导出数学物理方程数学物理方程的建立分三个步骤：（1）从所研究的系统中划分一小部分，分析临近部分与这一小部分的相互作用；（2）根据物理学的规律（如：牛顿第二定律、能量守恒定律等），用计算式表达这个作用。（3）化简、整理，即得所研究问题满足的物理方程。3.1一维波动方程的建立16一维波动方程的建立的概述：力学中有一类所谓振动和波的现象，如弹性波，光波，电磁波等等，虽然各有其特殊规律，但有一个共性波动，所以在数学上均能用波动方程来描述其运动规律。设有一根拉紧着的均匀，柔软而有弹性的弦，长为，两端钉在O，L两点，当它在平衡位置附近作垂直于OL方向的微小横振动时，考察弦上各点的运动规律。为了解决这个问题，如图：3. 1所示。选择坐标系，并以u（x，t）表示弦上x点在时刻t沿垂直于x方向的位移。图 3.1（一维波动方程）在这弦上，任取一小段由于弦振动是微小的，故可以认为是直线。则有弧长，又由于弦是柔软的，弦的张力T的方向总是沿着弦的切线方向。且张力T是一个常数，它与位置x和时间t均无关。通过分析作用在小弦段上的力是：（1）作用在点上的张力T，它在u轴方向上的分力为（2）作用在M点上的张力T，它在u轴方向的分力为（3）作用在上，垂直于x轴的外力为，其中是在点x处的外力的线密度。设弦的密度为，根据牛顿第二定律有因，故当时，有：同理代入上式得应用中值定理得其中令就得到弦的强迫横振动方程其中若外力消失，则得到弦的自由横振动方程这样就导出(,)所满足的偏微分方程。方程建立不仅适用弦振动，而且还适用力学上的弹性杆振动，管道中气体小扰动等等。3.2热传导方程的建立1物理现象中的热传导和扩散在生活中常见。我们知道的有热量差的物体，就有热传导现象。浓度不同的溶液中，就有分子从浓度大的地方流向浓度小的地方。凡是由于物理量的密度不同而产生的运动，通称为扩散。在数学上，描述热传导规律和扩散规律的是同一种方程，人们把它作为研究抛物型方程的模型。在不少的生产实际问题中，经常需要考虑物体上各点的温度分布状态。我们考察一根均匀细杆内热量的传播的过程。设细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以至于在任何时刻都可以把横截面上的温度视为等同，因此，是一个一维情况。图3.2（热传导方程）如图3.2所示，取轴与细杆重合，以(,)表示点在时刻的温度，问题就是要确定函数(,)。和建立弦振动方程一样，我们采用微元分