毕 业 论 文（设计） 论文（设计）题目：向量在初等几何中的应用 系 别： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2010104520 姓 名： 指导教师： 黄春妙 时 间： 河 池 学 院毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告系别: 数学系 专业:数学与应用数学学 号2010104520姓 名论文（设计）题目向量法在初等几何中的运用命题来源教师命题 学生自主命题 教师课题选题意义(不少于300字)：向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同工之妙。向量既能体现“ 形 ”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于600字): 向量概念的演变首先是物理学发展的需要，大约从17世纪开始，向量相加“平行四边形法则”就已经被用来确定两个运动“合成”运动所驱使的点的运动。17世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用与物理学等自然科学研究之中。为了复数应用的合法化，韦塞尔（C.wessel）于1797年，阿尔岗于1806年独立的建立起复数的几何表示，而高斯的工作是这些原理变得广为人知，并且被数学家们所接受，再熟悉了复数的几何表示后，数学家们认识到复数可用来表示和研究平面上的向量，数学家们试图将这种思想转到三维空间去。经过长期的努力，在1843年，哈曼顿终于得到有4个分量的四元素。大约19世纪中期，格拉斯曼借助直角坐标系，引进了向量的向量积以及两个向量的向量积，并自然的引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究它们的运算性质。在微分几何的发展中，高斯和黎曼等在19世纪引入张量的概念，随后又发展成张量分析，进而建立和发展了黎曼几何，n维空间中的标量和向量都是张量的特例。希尔伯特于20世纪初，以平方和数列空间为标本，将n维欧几里得空间理论推广到无限维。在希尔伯特空间中，有内积、夹角、也有正交性，这实际是无限维的解析几何学。希尔伯特空间理论对其后的量子力学的诞生和发展起了巨大作用。向量作为一种理论工具在几何中的运用，确实1918年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定空间的维数。韦尔的公里体系是欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言。研究的目标和主要内容（不少于400字）一 研究的目标探讨向量法在初等几何中几大求解问题中的应用，在熟记基本公式、性质以及基本作图方法的基础上，分析向量法在初等几何问题上的简便应用，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。二 主要内容 1、在直线的共点问题中的应用2、在点共线问题中的应用3、在直线平行问题中的应用4、在直线垂直问题中的应用5、在距离问题 中的应用6、关于面积问题的应用7、关于两直线夹角问题的应用拟采用的研究方法文献法 、网络搜索法 、探究分析、归纳总结、教师指导法研究工作的进度安排2014年1月至2014年2月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目.2014年3月，大量阅读与所撰写内容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写河池学院毕业论文（设计）开题报告，交指导教师审核批准.2014年4月到5月上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展，遇到难以解决的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅.2014年5月中旬接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿.2014年5月下旬至6月上旬准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办公室归档.参考文献目录（作者、书名或论文题目、出版社或刊号、出版年月日或出版期号）1 华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一类不定积分的计算及应用J.山东师大学报（自然科学版），2001,16（3）:317-318.3 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法J.广东民族学院学报（自然科学版），1998（4）:92-95.4 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论J.西南民族大学学报自然科学版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广J.平顶山学院学报，2009,24（5）：68-70.6 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法J.重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.7 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解J.高等数学研究，2005，8（6）：20-24.指导教师意见该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法，探讨几类向量法的求解方法，归纳总结出几种简便方法以求相应类型的几何问题，选题有意义，符合专业研究目标，有一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能够完成既定目标，同意开题.签名： 2012 年 月 日教研室主任意见同意指导教师的意见，同意开题. 签名： 2012年 月 日河 池 学 院 2014 届毕业论文（设计）学生自主选题审批表系别: 数学系 专业：数学与应用数学学号2010104520姓名论文(设计)题目向量在初等几何中的应用题目类型理论研究 应用研究 设计开发 其他是否在实验室、工程实践和社会实践中完成是 否选题依据与内容: 在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。预期成果：探讨向量法的简易求解方法，分类归纳，找出规律性的方法和技巧估计能过达到灵活运用、熟练掌握向量法的计算方法与技巧的目标教研室主任审查意见:该生的选题符合专业研究目标，估计能够完成既定目标，同意开题 签名: 年 月 日系(部)主管领导意见: 同意开题 签名: 年 月 日注:本表分选题填写,每题一页,由系（院）存档。目 录摘 要ABSTRACT1 向量方法在研究几何问题中的作用12 向量方法解决证明问题的直接应用22.1平行问题22.1.1证明两直线平行22.1.2证明线面平行32.2垂直问题42.2.1证明两直线垂直42.2.2证明线面垂直42.2.3证明面面垂直52.3处理角的问题62.3.1求异面直线所成的角62.3.2求线面角72.3.3求二面角83 向量方法解决度量问题的直接应用103.1两点间的距离103.2点与直线距离103.3点到面的距离113.4求两异面直线的距离113.5求面积123.6求体积134 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用145 向量在立体几何中应用的教学反思215.1对比综合法与向量法的利弊215.2向量法解决立体几何问题的步骤225.3向量法能解决所有立体几何问题吗22参考文献23向量法在初等几何中的运用专业：数学与应用数学 指导老师：黄春妙摘 要向量是现代数学中重要和基本的概念之一，具有代数形式和几何形式的“双重身份”，是沟通代数和几何的一种工具。纵观这几年的高考题，绝大部分都可以用几何法和向量法去解决。因为 对此问题向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表达的简洁性和处理问题的一般性。通常可使问题化难为易，化繁为简，本文通过举例就向量法证明几何问题做一些探讨。关键词向量法，初等几何，应用引言 向量既是一种既有大小,又有方向的量它的运算具有鲜明的几何意义,作为一种用代数方法研究几何问题的有力工具,它不仅在研究复杂图形方面有着重要作用,在研究初等几何方面也有着广泛的应用,尤其对于初等儿何中的平行、垂直、共点共线等问题应用效果尤佳，现通过几个实例对此进行探讨。装订线 向量在立体几何中的应用摘 要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teac