2007年-2013年河南专升本高数真题及答案2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数。2.函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解： 。3. 当时，与不等价的无穷小量是 ( ) A. B. C. D. 解：根据常用等价关系知，只有与比较不是等价的。应选A。4.当 是函数 的 （ ） A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解： ；。5. 设 在处可导，且，则的值为（ ） A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解： 。 6.若函数在区间内有，则在区间内，图形 （ ）A单调递减且为凸的 B单调递增且为凸的 C单调递减且为凹的 D单调递增且为凹的解：单调增加；凸的。应选B。7.曲线的拐点是 （ ） A. B. C. D. 解：，应选A 。8.曲线的水平渐近线是 （ ）A. B. C. D. 解： 。9. （ ） A. 0 B. C.2 D. 1 解： 。 10.若函数是的原函数，则下列等式正确的是 （ ）A. B. C. D. 解：根据不定积分与原函数的关系知，。应选B。 11. （ ）A. B. C. D. 解：。12. 设，则 （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 解： 。13. 下列广义积分收敛的是 （ ） A. B. C. D. 解：由积分和积分的收敛性知，收敛，应选C 。14. 对不定积分，下列计算结果错误是 （ ） A. B. C. D. 解：分析结果，就能知道选择C。15. 函数在区间的平均值为 （ ）A. B. C. 8 D. 4解： 。16. 过轴及点的平面方程为 （ ） A. B. C. D. 解：经过轴的平面可设为，把点代入得应选C。也可以把点代入所给的方程验证，且不含。17. 双曲线绕轴旋转所成的曲面方程为 （ ）A. B. C. D. 解：把中换成得，应选A。18. （ ） A. B. C.0 D. 极限不存在解： 。 19.若，则 （ ） A. B. 1 C. D. 0 解： 。20. 方程 所确定的隐函数为，则 （ ）A. B. C. D. 解：令，应选A。21. 设为抛物线上从到 的一段弧，则 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2解：从0变到1， 。22.下列正项级数收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解：对级数、需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级数利用比较判别法的极限形式来确定-发散的，应选C。23.幂级数的收敛区间为 （ ） A. B. C. D.解： 令，级数化为收敛区间为，即。24. 微分特解形式应设为 （ ） A. B. C. D. 解： 不是特征方程的特征根，特解应设为。应选B。25.设函数是微分方程的解，且，则在处（ ）A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值解：有 。得分评卷人二、填空题（每题2分，共30分）26.设，则_.解： 。27._.解：构造级数，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件。 28.若函数在处连续，则_. 解：。29.已知曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为 _解：。30.设，则 _解： 。31.设，则_解： 。32. 若函数在处取得极值2，则_，_解：；。33. _解：。34_ 解：。35.向量的模_解：。36. 已知平面：与平面：垂直，则_解：。37.设，则_ 解：。 38.已知，交换积分次序后，则_ 解： ，所以次序交换后为。39.若级数收敛，则级数的和为 _解：，而，所以。40.微分方程的通解为_ 解：有二重特征根1，故通解为（为任意常数）。得分评卷人三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“”，反之划“”.41.若数列单调，则必收敛. ( )解：如数列单调，但发散，应为。42.若函数在区间上连续，在内可导，且，则一定不存在，使. ( )解：如在满足上述条件，但存在，使得，应为。43. ( )解：第二步不满足或，是错误的，事实上。应为。44. ( )解：因，由定积分保序性知：，应为。45.函数在点处可微是在处连续的充分条件.( )解：在点处可微可得在点处连续，反之不成立，应为应为。得分评卷人四、计算题（每小题5分，共40分）46求. 解： 。47.求函数的导数.解： 两边取自然对数得 ，-（1分） 两边对求导得：，-（3分）即，-（4分）故 。-（5分）48.求不定积分.解： -（1分） -（3分）-（4分）。-（5分）49.计算定积分 .解：因，所以-（2分）-（4分）。-（5分）50.设，且为可微函数，求. 解：令 ，有，利用微分的不变性得 -（3分） -（4分） -（5分）51计算，其中为圆环区域：.解：积分区域如图07-1所示：的边界、用极坐标表示分别为，；故积分区域在极坐标系系下为图07-1，-（2分）故-（3分） -（4分） 。-（5分）52将展开为的幂级数，并写出收敛区间. 解： 因；-（2分）。所以；。-（3分）故-（4分） 。-（5分）53求微分方程的通解.解：方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，-（1分）它对应的齐次方程的通解为，-（2分）设原方程有通解，代入方程得，即 ，-（3分）所以 ，-（4分）故所求方程的通解为。-（5分）得分评卷人五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V立方米，底面造价每平方米元，侧面造价每平方米元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？ 解：设长方体的长、宽分别为 ，则高为，又设造价为，-（1分）由题意可得 ；-（3分）而 在定义域内都有意义.令得唯一驻点，-（5分）由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价