摘要本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性，最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。关键词：恰当方程􀀁 积分因子􀀁 通解􀀁 微分方程 Abstract This paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient conditions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact equation.Considering the no uniqueness of exact equation and the complex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various methods to solve integral factor of differential equations，then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation. 目录一、恰当方程的定义和充要条件1二、积分因子的定义1三、积分因子的存在条件2四、积分因子的形式34.1只与有关的积分因子34.2只与有关的积分因子44.3形为的积分因子54.4形为的积分因子64.5形为的积分因子84.6形为的积分因子104.7形为的积分因子124.8形为的积分因子134.9形为的积分因子154.10形为的积分因子164.11形为的积分因子204.12形为的积分因子224.13形为的积分因子244.14形为的积分因子254.15形为的积分因子274.16形为的积分因子28五、利用积分因子求解微分方程的一般方法295.1凑微分法求积分因子295.2分组法求积分因子30六、四种类型方程的积分因子法326.1变量分离方程326.2齐次方程326.3一阶线性微分方程336.4伯努利方程33七、结束语34附录37一、英文原文37二、中文译文48一、恰当方程的定义和充要条件对于具有对称形式的一阶微分方程 其求解方法是根据方程的不同类型确定的。我们讨论其中一类全微分方程, 也称为恰当方程。所谓恰当方程就是形如方程, 其中 在某矩形区域内是的连续函数且具有连续的一阶偏导数, 若方程 的左端 恰好是某个二元函数的全微分,即 这时方程的通解是, 这里是任意常数。方程为恰当方程的充要条件是,这常用于判断一个微分方程是否为恰当方程, 进而求得其通解。恰当方程可以通过积分求出它的通解, 因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义, 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。二、积分因子的定义当方程不是恰当方程时，。但如存在不恒为零的连续可微函数，使得 成为恰当方程，即存在函数，使那么则称为方程的积分因子。此时的通解也就是的通解。三、积分因子的存在条件常微分方程为恰当方程的充要条件是 ，即。另记，则上面方程可整理 因此，为方程的积分因子的充要条件是其为方程的解。方程 是一个有两个自变量的偏微分方程, 一般地求它要比求常微分方程更困难。但是, 在若干特殊情形下, 求 的一个特解还是容易的, 所以也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。下面就讨论某些特殊形式的积分因子。四、积分因子的形式理论上可以证明积分因子必定存在, 但是实际上没有一个一般方法, 只有对一些特殊的方程可以求出特殊形式的积分因子。我们主要讨论以下几种特殊形式的积分因子:4.1只与有关的积分因子在这种条件下我们有一条结论：方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，这里的是仅为的函数，且可以求得相应的积分因子具有 这种形式。 证明略。例1.1 求方程的通解和积分因子。解： 因为,， 所以， 从而原方程不是恰当方程，考虑 从而方程有只与 x有关的积分因子 ，原方成两端乘以得 ，整理得 因此，通解为 。（c为任意常数）注意：此时。4.2只与有关的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： ，渴求的相应的积分因子具有这种形式。证明略。例2.1 求方程。解：因为所以，易知原方程不是恰 当方程，所以，方程有只与有关的积分因子： ，原方程两边乘以积分因子，变为，整理得 ，所以通解为（c为任意常数）。另外，要注意当时，此方程也成立。4.3形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，且积分因子。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则有，当时，整理得，因此，方程具有形为的积分因子的充要条件为： ，且积分因子。例3.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，易 知原方程不是恰当方程，考虑，所以方程有形为的积分因子。所以，原方程两边乘以积分因子u，整理得 ，因此通解为 （c为任意常数）。另外，当时，其也是方程的解。4.4形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：（a,b为不同时为零的常数），且积分因子。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，那么 ， 即 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ： （a,b不同时为零）且积分因子。例4.1 求方程的通解。解：因为 ，所以 取，所以方程有形为的积分因子，原方程两边乘以积分因子u，整理得 ，化为 ，因此通解为 （c为任意常数）。4.5形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：，且它的积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，那么 ，进一步整理得 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充分必要条件为 ： 且它的积分因子为。例5.1 求方程的通解。解：因为，所以，那么，因此方程有形为的积分因子，以方程两端乘以u,得 ，可求的通解为（c为任意常数）。4.6形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且它的积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，则 ，那么 ，因此， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ：且它的积分因子为。例6.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则 ，所以方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到 ，整理得 ，所以通解为 （c为任意常数）。4.7形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令 ，则，则 ，那么 ，所以，方程具有形为的积分因子的充分必要条件为 ：，其积分因子为。例7.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则，因此方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到，所以通解为 （c为任意常数）。4.8形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为：且积分因子为。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 ，令，则，则 ，那么 ，所以， 方程具有形为的积分因子的充要条件为 ： 且积分因子为。例8.1 求方程的积分因子和通解。解：因为，所以，则 ，那么方程有形为的积分因子，方成两端同时乘以u,得到 ，所以通解为 （c为任意常数）。4.9形为的积分因子方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： 且积分因子。证明：必要性，设是方程的积分因子，则 ，既得 ，从而整理得 ，取，则得 ，最后得 。充分性，若，令，则 ，所以故积分因子为。当然，上面第8种积分因子为此一特例，这里就不再举例了。4.10形为的积分因子常微分方程，若，则方程具有乘积形式的积分因子的充要条件是下面的关系式成立:（其中）。证明：假设积分因子，则为全微分方程，则有 ，即 （其中），稍加整理即得到： 于是结论成立。注意，当时，则上面结论变成： 方程中在D内连续且有连续偏导数，且满足，则方程存在形为的积分因子的充要条件为： 且积分因子。下面给出求具有乘积形式积分因子的求解方法。定理 对方程假设满足下列关系式： 其中则方程具有形为的积分因子。证明：此定理是上面推论的一个直接结