精品文档高一数学竞赛试题及答案时间：2016/3/18注意：本试卷均为解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）xx2-3x+2=0,B=xx2+2(a+1)x+=0,aR设集合A=(a2-5)，（1）若A（2）若AB=2求a的值；B=A,求a的取值范围；（3）若U=R,A(CB)=A,求a的取值范围.U2.（本小题满分15分）设M=x|f(x)=x,N=x|ff(x)=x,（1）求证：MN;（2）f(x)为单调函数时，是否有M=N？请说明理由.精品文档2有最大值5，精品文档3（本小题满分15分）已知函数f(x)=2(sin4x+cos4x)+m(sinx+cosx)4在x0,求实数m的值p精品文档精品文档4（本小题满分15分）f已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2011,2011上根的个数，并证明你的结论精品文档精品文档5（本小题满分15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR,a0)，设方程f(x)=x的两个实数根为x和x.2（1）如果x2x-1；1200（2）如果x0时，f(x)=lg(x2-ax+10)，aR.（1）若f(1)=lg5，求f(x)的解析式；（2）若a=0，不等式f(k2x)+f(4x+k+1)0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f(x)的值域为R，求a的取值范围.精品文档精品文档高一数学竞赛试题参考答案1、解：A=1,2（1）AB=22B即，22+2（a+1)2+(a2-5)=0，解得a=-3或a=-12当a=-3时，B=x|x2-4x+4=0=当a=-1时，B=x|x2-4=0=-2,2综上a-1,-3（2）AB=ABA当B=f时，则该一元二次方程无解，即，22(a+1)-4(a2-5)0，即a-3时，该一元二次方程有两个不同实数根1和21+2=-2(a+1)，即a=-5212=a2-5，即a=7（舍）,综上a(-,-3U=,R（3）A(CB)=AAIB=fU当时，即a-3，所以只需1B且2B将1代入方程中得a=-13;将2代入方程中得a=-3或a=-1所以a-3、a-1和a-13综上，a的取值范围为-(-，3)U(3,-1-精品文档U-U-U-3)(1-3,-1)(1,-1+3)(1+3,+)精品文档2、证明：（1）若M=f，显然有MN;若Mf，则存在xM，满足f(x)=x，000)=f(x)=x所以ff(x000，故x0N，所以MN;（2）M=N.用反证法证明假设MN，由于MN，必存在xN,1但xM，因此f(x)x，111f若f(x)x，由于(x)为单调增函数，11x所以ff(x1)f(x1)，即1f(x1)，矛盾；若f(x)x，由于f(x)为单调增函数，11所以ff(x1)f(x1)，即x1f(x1)，矛盾。综合、可知f(x)=x，因此xM,与假设矛盾，111所以假设不能成立，即M=N.3、解：f(x)=2(sin2x+cos2x)2-4sin2xcos2x+m(sinx+cosx)4=2-(2sinxcosx)2+m(sinx+cosx)44)1,2，令t=sinx+cosx=2sin(x+p则2sinxcosx=t2-1，从而f(x)=2-(t2-1)2+mt4=(m-1)t4+2t2+1令u=t21,2，由题意知g(u)=(m-1)u2+2u+1在u1,2有最大