中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)过二次曲线与直线交点的圆系方程利用圆系方程妙解四点共圆问题 二次曲线G上的四点共圆问题是高考的热点问题,利用曲线系思想可妙解四点共圆问题,为此,构造圆系方程如下.母题结构:设二次曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里=,t为任意实数.母题解析:一般情况下,圆与二次曲线有四个交点,不妨设过另外两个交点的直线方程为:mx+qy+t=0,则过这四个交点的曲线系:(ax2+cy2+dx+ey+f)+(mx+ny+p)(mx+qy+t)=0,即(a+m2)x2+(mq+nm)xy+(c+nq)y2+(d+mt)x+(e+nt)y+(f+pt)=0,该曲线系为圆系(mq+nm)=0,且a+m2=c+nqq=-n,且=圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里=,t为任意实数. 由此还可得到二次曲线G上A、B、C、D四点共圆四边形ACD的两条对角线和两组对边的倾斜角分别互补,特别的,考虑四点共圆的极限情形(如图)有:设点A是圆锥曲线G上的定点但不是顶点,B、C是G上的两个动点,直线AB、AC的斜率互为相反数,则直线BC的斜率为曲线G过点A的切线斜率的相反数(定值); 1.证明四点共圆 子题类型:(2011年全国高考试题)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点,点P满足+=0.()证明:点P在C上; ()设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.解析:()设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(0,1)直线l:y=-x+1,与x2+=1联立得:4x2-2x-1=0x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=1;又由=0P(-,-1)在C上;()由kPQ=kOP=直线OQ:y=xA、P、B、Q四点均在曲线G:2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y)=0上;由2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y)=(2+2)x2+(1-)y2-x+y-2,令2+2=1-=-曲线G:4x2+4y2+x-y-6=0为圆A、P、B、Q四点在同一圆上.点评:对于给定的圆锥曲线G,巧妙选取两条斜率互为相反数的直线,即可构造这两条直线与圆锥曲线G的四个交点共圆问题:证明四点共圆,或判断四点是否共圆？对于该类问题:圆锥曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0,直线l1:y=kx+m,直线l2:y=-kx+n,则直线l1、l2与圆锥曲线G的四个交点均在曲线:ax2+cy2+dx+ey+f+(kx-y+m)(kx+y-n)=0上,当=时,曲线为圆,由此即可证明判断四点四点共圆. 2.四点共圆条件 子题类型:(1993年全国高中数学联赛试题)设0ab0),由题知c=1,=a=4,b2=3椭圆C:+=1;()由椭圆C在点A处的切线:x+2y-4=0,设直线EF:x+ty+m=0,则过A、E、F三点的曲线系:3x2+4y2-12+(x+2y-4)(x+ty+m)=0(3+)x2+(2+t)xy+(4+2t)y2+(m-4)x+(2m-4t)y-12-4m=0,该曲线系为AEF的外接圆(2+t)=0,且3+=4+2tt=-2,=直线EF:x-2y+m=0直线EF的斜率k=为定值.点评:如果圆锥曲线G上一定点M(x0,y0)和两动点A、B,则直线MA、MB的斜率互为相反数等价于直线AB的斜率与曲线G在点M的切线斜率互为相反数,由此可构造四点共圆的第三类问题:或由直线MA、MB的斜率互为相反数,求证:直线AB的斜率为定值;或由直线AB的斜率与曲线G在点M的切线斜率互为相反数,求证:直线MA、MB的斜率互为相反数;这互为逆命题的两类问题均可利用圆系方程巧妙解决. 4.子题系列:1.(2002年河南、江苏高考试题)设A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.()求直线AB的方程;()如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？2.(2005年湖北高考试题)设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆交于C、D两点. ()确定的取值范围,并求直线AB的方程;()试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.3.(2014年全国高中数学联赛湖北预赛(高二)试题)设A、B是双曲线线x2-=上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线交双曲线于C、D两点. ()确定的取值范围;()试判断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由.4.(2014年全国(大纲)高考试题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.5.(2004年北京高考理科试题)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).()求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;()当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.6.(2011年全国高中数学联赛试题)作斜率为的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点(如图所示),且P(3,)在直线l的左上方.()证明:PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; ()若APB=600,求PAB的面积. 5.子题详解:1.解:()设A(x0,y0),则B(2-x0,4-y0),由2x02-y02=2,2(2-x0)2-(4-y0)2=2x0-y0+1=0点A在直线x-y+1=0上,同理可得:点B也在直线x-y+1=0上直线AB:x-y+1=0;()由CDAB直线CD:y-2=-(x-1),即x+y-3=0A、B、C、D四点均在曲线G:(2x2-y2-2)+(x-y+1)(x+y-3)=0,即(2+)x2-(1+)y2-2x+4y-3-2=0上,当=-时,曲线G为圆:(x+3)2+(y-6)2=40A、B、C、D四点共圆.2.解:()由点N(1,3)是线段AB的中点点N(1,3)在椭圆内3+32=12.所以,的取值范围是(12,+);设A(x0,y0),则B(2-x0,6-y0),由3x02+y02=,3(2-x0)2+(6-y0)2=x0+y0-4=0点A在直线x+y-4=0上,同理可得:点B也在直线x+y-4=0上直线AB:x+y-4=0;()由CDAB直线CD:y-3=x-1,即x-y+2=0A、B、C、D四点均在曲线G:(3x2+y2-)+t(x+y-4)(x-y+2)=0,即(3+t)x2+(1-t)y2-2tx+6ty-8t-=0上,当=-1时,曲线G为圆:x2+y2+x-3y+4-=0A、B、C、D四点共圆.3.解:()设A(x0,y0),则B(2-x0,4-y0),由2x02-y02=,2(2-x0)2-(4-y0)2=x0-y0+1=0点A在直线x-y+1=0上,同理可得:点B也在直线x-y+1=0上直线AB:x-y+1=0直线CD:x+y-3=0;将x-y+1=0代入x2-=得:x2-2x-(2+1)=04+4(2+1)0-1;同理将x+y-3=0代入x2-=得:-9;又0的取值范围是(-1,0)(0,+);()由A、B、C、D四点均在曲线G:(2x2-y2-)+t(x-y+1)(x+y-3)=0,即(2+t)x2-(1+t)y2-2tx+4ty-3t-=0上,当t=-时,曲线G为圆:(x+3)2+(y-6)2=4(+9)A、B、C、D四点共圆.4.解:()设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=|PQ|=,|QF|=+;由|QF|=|PQ|+=p=2C:y2=4x;()由F(1,0),设直线AB:kx-y-k=0,直线MN:x+ky+t=0,则过A、M、B、N四点的曲线系:y2-4x+(kx-y-k)(x+ky+t)=0,即kx2+(k2-1)xy+(1-k)y2+(kt-k-4)x-(t+k2)y-kt=0,该曲线系为圆(k2-1)=0,且k=1-kk=1,=直线l:y=(x-1).(还可求直线MN:由圆:x2+y2+(t-9)x-2(t+1)y-t=0圆心T(,(t+1);由圆心T在直线MN:x+ky+t=0上t=-5直线MN:xy-5=0).5.解:()当y=时,x=,又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得所求距离=+=;()由kPA+kPB=0+=0+=0=-2;由抛物线y2=2px在点P(x0,y0)处切线:px-y0y+px0=0,设直线AB:kx-y+t=0,则过A、B、P三点的曲线系:y2-2px+(px-y0y+px0)(kx-y+t)=0pkx2-(p+ky0)xy+(1+y0)y2+p(t+kx0)-2x-(y0t+px0)y+px0t=0,该曲线系为PAB的外接圆(p+ky0)=0,且pk=1+y0k=-.6.解:()设直线PA:y=k1x+m1,PB:y=k2x+m2,其中,3k1+m1=,3k2+m2=,则过A、B、P三点的曲线系:4x2+36y2-144+(k1x-y+m1)(k2x-y+m2)=0(4+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(36+)y2+(k1m2+k2m1)x-(m1+m2)y-144+m1m2=0,该曲线系为PAB的外接圆(k1+k2)=