第七节正弦定理和余弦定理的应用举例A级基础过关|固根基|1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()ABCD解析：选D由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB故选D2(2019届湖南师大附中月考)如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理，得12221，解得v6.故选B3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，由题意得，在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45C60D75解析：选B依题意可得，AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD.又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.故选B5.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为_m.解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600600.答案：6006(2019届阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里解析：如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CACD10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案：107(2019届盘绵质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米解析：如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC50，即扇形的半径为50米答案：508.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan ，tan 2，则BB160tan 245.答案：459如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.解析：由题意得，在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，所以PB30()，所以树的高度为PBsin 4530()(3030)(m)答案：(3030)10.如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解：(1)由题意得，在BCP中，PBC60，由tan PBC，得BC2，由题意得，在ABC中，BAC15，BCADBCBAC45，由正弦定理得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)由题意得，在BCD中，BD1，BC2，CBD60，则由余弦定理，得CD，在BCD中，由正弦定理，得，即，所以sinCDB，所以山顶位于D处南偏东45的方向.B级素养提升|练能力|11如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知，得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)答案：12.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2260020t，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)答案：1513.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)在AMN中，由正弦定理，得，所以ANsin ，AMsin(120)(2)AP2AM2MP22AMMPcos AMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)(其中利用诱导公式可知sin(120)sin(60)，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2千米- 1 -