计算机算法分析习题课第四章：2 、3、5、6、10、11、23P99-2在下列情况下求解4.1节的递归关系式T(n)= ()2(/2) () gnnTnfn 足够小否则 当g(n)=O(1)和f(n)=O(n)； g(n)=O(1)和f(n)=O(1)。P99-2递推表达式设n=2k则:T(n)=T(2k)=2T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1) +f(2k)=22T(2k-2)+21f(2k-1)+ f(2k)=2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k)=2kg(n)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k)g(n)=O(1)和f(n)=O(n)当g(n)=O(1)和f(n)=O(n)时不妨设g(n)=a，f(n)=bn，则：T(n)=T(2k)= 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+20*2kb=2ka+kb2k=an+bnlog2n=O(nlog2n)g(n)=O(1)和f(n)=O(1)当g(n)=O(1)和f(n)=O(1)时，不妨设g(n)=c，f(n)=d，则：T(n)=T(2k)=c2k+2k-1d+2k-2d+20d=c2k+d(2k-1)=(c+d) n-d=O(n)P99-3􀂄根据2.2节开始所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j)integer midif lowhighthenmid(low+high)/2 if x=A(mid) thenjmid;endifif xA(mid) thenBINSRCH(A, mid+1, high, x, j);endifif xA(mid) thenBINSRCH(A, low, mid-1, x, j);endifelsej0;endifend BINSRCHP99-5􀂄作一个“三分”检索算法，它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素。这样，或者找到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。Procedure ThriSearch(A, x, n, j)integer low, high, p1, p2low1; highnwhile lowhighdop1(high+2low)/3 p2(2high+low)/3 case:x=A(p1): jp1; return:x=A(p2): jp2; return:xA(p2): low p2+1:else: lowp1+1; highp2-1end caserepeatj0end ThriSearch实例运行 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 361时间复杂度􀂄成功:􀂉O(1),O(log3(n),O(log3(n)􀂉最好，平均，最坏􀂄失败:􀂉O(log3(n),O(log3(n),O(log3(n)􀂉最好，平均，最坏P99-6对于含有n个内部结点的二元树，证明E=I+2n其中，E，I分别为外部和内部路径长度。证明：数学归纳法当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立；假设nk(k0)时，E=I+2n成立；此时新树内部结点为k个，则满足：Ek=Ik+2k（1）考察原树的外部路径长度和内部路径长度：Ek+1= Ek-h+2(h+1) （2）Ik+1=Ik+h（3）综合（1）（2）（3）式：Ek+1= Ik+2k+h+2= Ik+1-h+2k+h+2= Ik+1+2(k+1)故命题成立。P99-10过程MERGESORT的最坏情况时间是O(nlogn)，它的最好情况时间是什么？能说归并分类的时间是(nlogn)吗？􀂄最好情况：􀂉对有序文件进行排序􀂄分析􀂉归并的次数不会发生变化-log(n)次􀂉归并中比较的次数会发生变化（两个长n/2序列归并）􀂄最坏情况􀂉两个序列交错大小􀂉需要比较n-1次􀂄最好情况􀂉一个序列完全大于/小于另一个序列􀂉比较n/2次􀂉差异都是线性的，不改变复杂性的阶􀂄最好情况也是nlog(n), 平均复杂度nlog(n)。P99-11􀂄写一个“由底向上”的归并分类算法，从而取消对栈空间的利用。􀂉见数据结构-第九章P238算法MPass（R，n，1engthX）MP1 初始化i1 MP2 合并相邻的两个长度为length的子文件WHILE i n 2*length + 1 DO（Merge（R，i，ilengthl，i2*length1X）.ii2*length ）MP3 处理余留的长度小于2*length的子文件IF i+length1 n THENMerge（R，i，i+length1，n. X）ELSEFOR j = i TO n DO XjRjP99-23􀂄通过手算证明（4.9）和(4.10)式确实能得到C11,C12,C21和C22的正确值。C11=P+S-T+V=(A11+A22)(B11+B22) +A22(B21-B11) -(A11+A12)B22 +(A12-A22)(B21+B22)=A11B11+A22B11+A11B22+A22B22 +A22B21-A22B11 -A11B22-A12B22 +A12B21+ A12B22-A22B21-A22B22=A11B11 +A12B21P=(A11+A22)(B11+B22)T=(A11+A12)B22Q=(A21+A22)B11U=(A21-A11)(B11+B12)R=A11(B12-B22)V=(A12-A22)(B21+B22)S=A22(B21-B11)P=(A11+A22)(B11+B22)T=(A11+A12)B22Q=(A21+A22)B11U=(A21-A11)(B11+B12)R=A11(B12-B22)V=(A12-A22)(B21+B22)S=A22(B21-B11)C12=R+T= A11B12-A11B22 +A11B22+A12B22= A11B12 +A12B22C21=Q+S= A21B11+A22B11 +A22B21-A22B11= A21B11 +A22B21C22=P+R-Q+U=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12+B22)-(A21+A22)B11 +(A21-A11)(B11+B12)= A11B11+A22B11+A11B22+A22B22+A11B12-A11B22-A21B11-A22B11 +A21B11 +A21B12-A11B11-A11B12=A22B22+A21B12P=(A11+A22)(B11+B22)T=(A11+A12)B22Q=(A21+A22)B11U=(A21-A11)(B11+B12)R=A11(B12-B22)V=(A12-A22)(B21+B22)S=A22(B21-B11)计算机算法分析习题课第五章：2、3 、6、8 、9 、10、11 、12P121-2􀂉求以下情况背包问题的最优解，n=7，m=15，（p1 , p7）=(10,5,15,7,6,18,3)和(w1,w7)=(2,3,5,7,1,4,1)。􀂉将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是物品按pi的非增次序输入时由GREEDY-KNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。问FO(I)/ FG(I)是多少?􀂉当物品按wi的非降次序输入时，重复的讨论。􀂄按照pi/mi的非增序可得(p5/w5, p1/w1,p6/w6, p3/w3, p7/w7,p2/w2, p4/w4)=(6,5,9/2,3,3,5/3,1)所以最优解为：（1,2/3,1,0,1,1,1），并且FO(I)=166/3􀂄按照pi的非增次序输入时，得到(p6, p3, p1, p4, p5, p2, p7)= (18,15,10,7,6,5,3)，对应的(w6, w3, w1, w4, w5, w2, w7)= (4,5,2,7,1,3,1)，则FG(I)的解为（1,0,1,4/7,0,1,0），并且FG(I)=47，所以FO(I)/ FG(I)=166/141.􀂄按照wi的非降次序输入时，得(w5,w7,w1,w2,w6,w3,w4)=(1,1,2,3,4,5,7)，相应的（p5, p7, p1, p2, p6, p3, p4）=(6,3,10,5,18,15,7)，则FW(I)的解为（1,1,4/5,0,1,1,1），并且FW(I)=54，所以FO(I)/ FW(I)=83/81.P122-3􀂄3（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成􀂄极大化􀂄约束条件􀂄xi=0或1 1in􀂄这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物品或者整件装入背包或者整件不装入。求解此问题的一种贪心策略是：按pi/wi的非增次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品能装的进就将其装入背包。证明这种策略不一定能得到最优解。1niipx1niiwxM􀂄证明：􀂉当按照pi/wi的非增次序考虑物品存放背包时，如果所装入的物品恰能装满背包时，显然为最优解，否则未必是最优解.􀂉可举例如下：设n=3，M=6，（p1,p2,p3）=(3,4,8)，（w1,w2,w3）=(1,2,5)按照pi/wi的非增序得到（p1/w1,p2/w2,p3/w3）=(3,2,1.6)，则其解为（1,1,0），而事实上最优解是(1,0,1) 。问题得证。P122-6􀂄假定要将长为l1,l2,ln的n个程序存入一盘磁带，程序i被检索的频率是fi。如果程序按i1,i2,in的次序存放，则期望检索时间（ERT）是: 􀂄证明按li的非降次序存放程序不一定得到最小的ERT。􀂄证明按fi的非增次序存放程序不一定得到最小的ERT。􀂄证明按fi/li的非增次序来存放程序时ERT取最小值。l:(4,1,2) f:(0.8,0.1,0.1)按li的非降序存放程序ERT=0.1*1+0.1*3+0.8*7=6而最优解为0.8*4+0.1*5+0.1*7=4.4l:(16,1,2) f:(0.8,0.1,0.1)按fi的非增序存放程序ERT=0.8*16+0.1*17+0.1*19=16.4而最优解为0.1*1+0.8*17+0.1*19=15.6证明结论是正确的,证明如下：假设li1,li2,lin按照fi/li的非增次序存放，即fi1/li1fi2/li2fin/lin，则得到ERT=fi1li1+fi2(li1+li2)+fik(li1+li2+lik)+fin(li1+li2+lin)/ 假设该问题的一个最优解是按照j1,j2,jn的顺序存放，并且其