陕西理工学院毕业设计 题 目 闭区间上连续函数的性质及其应用 学生姓名 学号 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学（师范类） 指导教师 完成地点 陕西理工学院 2015 年6 月 3日闭区间上连续函数的性质及其应用（陕理工数学与计算机科学学院数学与应用数学（师范类）专业1101班,陕西 汉中 723003）指导老师：摘要 闭区间上的连续函数有一些基本性质,即：有界性,最值性,零点性,介值性以及一致连续性.本文先总结了闭区间上连续函数的定义以及闭区间上连续函数的性质.然后通过一些具体例子说明这些性质的具体应用,从而加深对这些性质的理解.关键词 闭区间上的连续函数;有界性;最值性;零点性;介值性;一致连续性1 引言 闭区间上连续函数的性质是数学分析里面的一个重点内容,这些性质在函数的分析中,理论研究中有着重大意义,起着非常重要的作用.事实上,关于闭区间连续函数的性质以及其性质的推广,人们一直在研究,虽然已经有很多发现,但是对于其性质的应用也并没有完全探讨到,还需要人们不断的学习、研究.本文就这些性质进行了一些总结性的探讨,通过直观性理解分析,从理论上论证了性质的存在性.在生活中,知道了一些事物的特性,就会利用这些特性来达到其他的目的,那么在数学中也是一样,了解了闭区间上连续函数的性质,就要学以致用.闭区间上的连续函数的性质将有效的解决一些问题.2 闭区间上连续函数的性质及证明 定义11 如果函数在的邻域有定义,并且在的左右极限都等于,那么我们称在点处连续.定义21 函数在开区间上连续,在点右连续,在点左连续,我们就称函数是闭区间上的连续函数.2.1 有界性的定理及证明定理12 若函数在闭区间连续,则函数在闭区间上有界.即存在, 由闭区间上连续函数的定义可知,闭区间上连续函数是封闭的连续不断的曲线,在开区间上的函数在端点是可以无限延伸的.函数在某点有极限,则就在某点有界,根据有限覆盖定理,就很容易知道函数在定义域上是有界的.证明：任取 ,因为在处连续,故存在,使得,区间族组成闭区间的一个开覆盖,因此存在有限子覆盖,记为.令.任取,设,则,这说明是有界的3. 如果上述条件改为开区间、半开半闭区间、无穷区间,有限覆盖定理的条件不充分,则函数不一定是有界函数4.2.2 最值性及证明 定理25 设函数在闭区间上连续,则在函数上必有最大（小）值,即是说存在,使得对于任意,有,则,就是函数的最大值及最小值. 由定理1知道,闭区间上的连续函数存在上、下界,由确界原理知,在这里只需要证明函数能取得上、下确界的值. 证明：设为的上确界,存在,使得,否则有,对一切都有 ,令,即有,在上连续,故在有上界,设是的一个上界,则,从而推出,这与为,的上确界矛盾,故必存在,使,即在有最大值,同理可证在上有最小值5.2.3 零点定理及证明 定理36 若在上连续,异号,则在至少有一点,使,则就称为函数的零点.函数是连续函数,且不妨设在函数曲线的上半轴,在函数曲线上的下半轴,如下图所示则函数肯定与轴至少有一个交点. 证明：不妨设,取,如果,则定理得证,如果,则必与之一异号. 记异号的区间为.继之得一列区间满足：（1）;（2）;（3）.由条件（1）,（2）知,为闭区间套,所以,使得,且, 由知,由知,所以.定理得证7.2.4 介值定理及证明 定理48 设在上连续,且,则对与之间的任意数,至少有一点,使. 由定义可以看出介值定理和零点定理有一定的相同点,这里利用零点定理可以直接推出介值定理,只需要在原函数加减一个常数. 证明：设,则在上连续,且,所以 ,存在,使,即 所以8.2.5 一致连续性的定理及证明定义39 设函数在区间或开,或闭,或半开半闭内,满足对任意的,可找到只与有关而与内的点无关的,使得对内任意两点,当,总有,就称在内一致连续.定义410 若存在常数,在定义域中对任意都有成立,则称在中满足Lipthitz条件.若在区间上满足Lipthitz条件,则在区间上必定一致连续. 定理511 若在上连续,则在上一致连续. 证明：假设对某一大于0,不能将将区间分成有限多个小段,设区间二等分得两个区间,则这两个区间至少有一个不能分为有限多个小段,记其为,再将区间二等分,依上述手续继续,得一序列区间,它满足： （1）,且任一区间都不能分为有限多个小段,使在其上任两点的函数值差小于. （2）当时.由区间套定理,存在唯一的一点,而在点连续,按连续的定义,有,使时,有,而,则可以取充分大的,使,那么对上的任意一点都有,因此对上任意两点都有,这表明能分为有限多个小段,使在每一小段上任两点的函数值之差小于,这与区间的定义矛盾,故定理得证11.3 闭区间上连续函数的应用 闭区间上的连续函数的性质具有广泛的应用,利用其性质可以求极限、最值等等;本文将重点举例说明闭区间上连续函数在数学分析中和实际问题中的应用. 例1 证明若函数在区间上连续,且有有限的,则此函数在上是有界的. 证明：令,取,则存在,使得当时,恒有,又因为在区间连续,由定理1可知,有界,即存在常数,当,恒有,取,则,当,恒有. 例2 求函数的连续区间,并求. 解：函数的定义域为,函数的定义域为,由初等函数的连续性在区间连续,所以函数的定义域为,而,所以在处连续,因此,. 例3 证明方程在区间内至少有一根.证明：令,则在上连续,又有,由定理3知存在,使,即,所以,方程在内至少有一个根. 例4 证明,至少有一不大于正根.证明 ：令,则有;,又在闭区间上连续,由定理3知至少存在一点,使,若. 例5 设在上连续,且,证明. 证明：设,则在上连续,即的定义域为,且,若,则即为所求;若,则,由定理3知,即,总之,. 例6 证明至少有一实根.证明：设,则,类似地可得,故存在,使,又存在,使.因为在上连续,由定理3可知,至少存在一点,使,即至少有一个实根. 例7 设在闭区间上连续,则在中必有,使得. 证明：因为在闭区间上连续,由定理2可知,存在最大值与最小值,且则有,;,所以,.即.由定理4得,至少存在一点,使得. 例8 证明内一致连续. 证明：取 要使,得,取,于是对任意的,存在,使得对任何,只要,就有,即证. 例9 证明上一致连续.证明：,在上成立不等式 ,Lipthitz条件,从而在上一致连续;又由题知在上连续,由定理5可得在上一致连续, 即证一致连续. 例10 如果一个登山者第一天上午6点从山脚开始登山,下午4点到达山顶,第二天上午6点从山顶原路下山,下午4点到达山脚.问该登山者在上下山的过程中会,会在同一时间经过同一地点吗？并说明原因. 解：会. 不妨设山高为,登山者第一天登山的高度为函数,第二天登山的高度为函数,则,在上连续,且,;,=0,设,则在上连续,且,由定理3可知存在一点,使得,即是会在同一时间经过同一地点. 例11 越野比赛中,某运动员用40分钟工跑了8英里.证明：一定存在某一时刻,在该时刻起的5分钟内,该运动员跑了1英里.证明：设为离开起跑线的英里数,表示从跑到英里所用的时间,由定义2可知函数为闭区间上的连续函数,且有由于,不可能全大于5,也不可能全小于5, 故若上式左端有一项等于5,则结论得证,否则在内存在点满足则由定理4可知,存在,使得;因此由英里到英里跑了5分钟.4 结论通过以上性质的证明及其应用,可以发现闭区间上连续函数的性质不仅在数学分析中有着不容忽视的力量,而且在实际生活应用中也不可小觑.本人经过查阅资料,搜集大量题型,整理出闭区间上连续函数的性质及证明,并得出了以下结论：要应用闭区间上连续函数的性质必须满足两个条件,一个是闭区间,另一个是连续函数,这两个条件缺一不可.由于本人的知识能力有限,所以总结的闭区间上连续函数的应用并不完整,还有待提高.参考文献1 华北师范大学教学系.数学分析第四版上册M.北京：高等教育出版社,2010.71-74.2 高孝忠.数学分析教程上册M.北京： 清华大学出版社,2012.81-85.3 梅加强.数学分析M.北京：高等教育出版社,2013.85-86.4 E. G. Pytkeev.Baire property of spaces of continuous functionsJ.Mathematical Notes of theAcademy of Sciences of the USSR,1986(5).5 杨宝珊.闭区间上连续函数最值点的讨论J.内蒙古教育学院学报,1997(4).49-50.6 Tom M.Apostol. Mathematical Analysis（Second Edition）M.China Machine Press,2006.7 刘三阳,于力,李广民 .数学分析选讲M.北京：科学出版社,2007.48-50.8 杜其奎,陈金如等.数学分析精读讲义上册M.北京：科学出版社,2012.225-230.9 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲M.北京：国防工业出版社,2013.32-33.10 师小侠,李琨 .Lipthitz条件的应用J.咸阳师范学院学报,2003(2).64-65.11 李成章,黄玉民.数学分析上册M.北京：科学出版社, 2007.76-77.The propert