概率论与数理统计教案 授课时间2月9日至3月2日课时数8授课方式理论课授课单元第一章 概率论的基本概念要求与目的通过教学使学生了解概率论的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式），掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算。重点与难点(1) 重点是概率论的基本概念理、概率的常用公式(2) 难点是古典概型、几何概型、贝努里概型概率的计算主要内容一、基本概念随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件。不可能事件，完备事件组、概率的定义、古典概型、几何概型、条件概率、事件的独立性二、事件的关系的关系与运算事件的包含关系、事件的相等、并(和)事件与积(交)、差事件、对立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的运算法则三、常用公式1.加法公式 2.减法公式3.对立事件概率公式 4.乘法公式5全概率公式 6、贝叶斯公式7.贝努里概型教学方法讲授式 讲练结合参考资料概率论与数理统计余长安编，武汉大学出版社概率论与数理统计吴传生编，高等教育出版社思考题P7-4,5 p11-7 p14-13 p20-22,23 p24-26,29讲 稿第一章 概率论的基本概念一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件中的元素称为样本点，常用表示。(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。(3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4) 必然事件。(5) 不可能事件。(6) 完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。 =。6几何概型 7条件概率设事件B的概率.对任意事件，称P(A|B)=为在已知事件发生的条件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性 A、B ,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作。. 事件的相等设A,B,若，同时有，称A与B相等，记为A=B，.并(和)事件与积(交)事件 “A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作 .“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作或.差事件 “A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作.对立事件称“”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作。 .互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。.事件的运算法则1)交换律 2)结合律 3)分配律 4)对偶原则 ，三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P()=P()+P()-P()（2）对任意三个事件A、B，C2.减法公式若AB 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有 P（）=1-P（A）；4.乘法公式当时: 5全概率公式定理1：设 是 一列互不相容的事件，且有,对任何事件A，有P(A)= 6、贝叶斯公式定理2：若是一列互不相容的事件，且则对任一事件有两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件；3）每次试验的结果发生的概率相同 称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为。设事件在n次试验中发生了次，则四、举例例1.已知，求【解】 例2.已知求A,B,C至少有一个发生的概率。【解】 =例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球 基本事件总数为=15A的有利样本点数为, P(A)=6/15=2/5 B的有利样本点数为, P(B)=1/15 P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用表示取到白球数P(A)= P(B)= = P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9 P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽签原理）有个上签，个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明例6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为_【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则 两人到会面出时间差不超过15分钟 例7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件， （1）问恰好抽到不合格品的概率为多少？ (2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率【解】(1)设：表示产品来自第i条生产线 ：表示抽到不合格品由题意 P(A) =0.037 (2)【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B=例9：一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件表示“第一次取到一等品”， 表示“第二次取到一等品”，求。【解】这一结果的意义是明显的例10：假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为；求（1）该同学做对3道题的概率；(2) 该同学至少做对3道题的概率；【解】=1-=1-【点评】“至少”,通过对立事件求解。例11： 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) C 例12：设为随机事件，且，则必有(A) (B) (C) (D) C 例13：设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) A 教学后记教 案 授课时间3月5日至3月30日课时数8授课方式理论课授课单元第二章一维随机变量及其分布要求与目的通过教学使学生了解分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布；掌握一维随机变量函数的分布。重点与难点(1) 重点是分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布(2) 难点是一维随机变量函数的分布主要内容一、分布函数的定义与性质1. 随机变量2. 分布函数二、离散型随机变量1.概念2.分布律及其表示三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念2.密度函数具有下述性质：四、常见分布五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布2.一维连续型随机变量函数的分布 教学方法讲授式 讲练结合参考资料概率论与数理统计余长安编，武汉大学出版社概率论与数理统计吴传生编，高等教育出版社思考题P31-3 4 p36-12 13 p44-20 p48-27 第二章一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数，则称实变量为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为=。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2. 分布函数定义2 定义在样本空间上，取值于实数域的函数，称为是样本空间上的（实值）随机变量，并称 是随机变量的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若则； （2） （3）右连续性 （4）二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变X可能取值为()，相应的概率为随机变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。（1）分布律表示方法公式法（2）分布律表示方法列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律： 分布列的性质:非负性：1）规范性：2）分布函数 例1: 已知 (1)求，(2)分布函数【解】 例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为