南京师范大学泰州学院本科毕业论文南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）题 目： 关于连续与一致连续 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 摘要：通过例子，给出了一致连续概念中公共的直观而且实际的取法。对初学者建立一支连续的概念将有所帮助 在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的认识。为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一直连续的条件.运算性质。函数在区间I上的一致连续性与连续是两个截然不同的概念，后者是一个局部性的概念，前者有整体性质，他刻画了函数在区间I上变化的相对均匀性。本文对一致连续性做进一步讨论，给出几个判别定力，作为教科书中相应内容的补充和深化。 数学分析中函数一致连续概念的给出以及证明函数在某区间上一致连续的数学方法，应该说已经形成了完整的体系。本文谈的是对于初学者如何较快的建立对函数的认识作为典籍的教材，给出的定义是科学严谨的，可是作为教育则不能照本宣科，而需要把概念中所隐含的知识逐步交代清楚才有可能是初学者尽快建立起一致连续的概念关键词:函数，一致连续，连续函数，公共 The Necessary and Sufficient Condition of Consistent Continuity of Function and Its Application SONG Wen-tan，WANG Xiao-dong Abstract: This paper discuss the consist continuity of function defined in finite interval （a,b） and infiniti interval and the several necessary and sufficient condition of condition of consistent continuity of function are given. 目录1 绪论 连续以及一致连续的认识31.1函数连续的概念 31.2 连续的性质31.3 函数一致连续的概念41.4一致连续的性质 42 连续以及一致连续的判别62.1 基本概念62.2 基本定理103 对于连续和一致连续的讨论133.1主要结论与证明133.2有限区间上函数的一致连续性 153.3 无限区间上函数的一致连续性16谢 辞20参考文献21附录21 连续的概念 若f(x)在X。的某领域U（X。）内有定义，且f(x)=f(x),则称函数y=f(x)在X=X。处连续。 连续的性质根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在 连续，则（）在点连续。（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。(最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。 (介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 . 一致连续的概念定义一：设在区间有定义,若,使得,只要,就有,则称在X上一致连续。定义二：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在X上一致连续。定义三：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在X上一致连续。一致连续的性质1.（有界性定理）若函数在闭区间上连续,则在上有界2.（区间连续性）当函数分别在区间上一致连续,且区间的右端点为,区间的左端点也为（可分别为有限或无限区间）,在区间上的一致连续性.结论：当函数分别在区间,上一致连续,则在区间上是一致连续的.3.（介值定理和零值定理）若是有限闭区间上的连续函数,则介于之间的实数,必使得.作为推论,若,则必使得.4.设函数在上连续，在上一致连续的充要条件是：及都存在5.设在 上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续。6.若函数在连续，且，则函数 在上一致连续。7.函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列，使的，但当时 ，。8.若函数在（）上连续且，（，）都存在，则函数在（）一致连续。9. 函数与都在上一致连续，则，(有意义)在上一致连续。函数一致连续性的概念设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。例1.证明：函数在上一致连续。证 ：由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。例2. 证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。证 ： （1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续；（2），取，虽然有 但，故函数在区间上非一致连续。例3.（1）叙述于区间一致连续的定义;(2)设，都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。解： （1）若有称函数在上一致连续。（2）由题设，有界，从而存在，使再由，都一致连续，则使且时有令则时，所以在上一致连续。例4.函数在上连续，又在上一致连续，用定义证明：在上一致连续.证： 由在上一致连续，故，存在 当 ，且时，有 同理，在上一致连续，对上述，存在， 当，且时，有 令，则对，当且时，(1)若，由式有.(2)若，由式也有.(3)若，时，则，所以.从而得证在上一致连续。例5.证明：在其中上一致连续，=在上不一致连续。证:对取区间，当时，由一致连续的定义知在给定的区间中一致连续。（2）,在内取取对任意的，只要n充分大总有，.所以在上不一致连续。例6设函数定义在区间上。（1） 用方法叙述在上一致连续的概念；（2） 设,证明：在上一致连续；（3） 证明：函数在上非一致连续。解:（1） 设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。（2），取，则当时，所以在上一致连续.(3) 由 例5可知函数在（0,1）上非一致连续.例7.用定义证明在上一致连续.证 ：令=，先证在上一致连续. 设且。取，当且时，有。即证在上一致连续。 一致连续的基本定理及其应用证明题1.有限非闭区间的定理1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与 都存在。2.有限非闭区间的推论1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且 存在。3.有限非闭区间的推论2：函数 在上一致连续的充分必要条件是 在 上连续且存在。4.组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数在上一致连续，若，则在上一致连续。5.无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。6.无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。7.无穷区间的定理2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。8.无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。9.类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。10.一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X上的函数和，有成立，而在上一致连续，则在上也一致连续。11.一般任意区间上的判别法定理：设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。例1.（1）； （2）； （3）。解：（1）在内连续，且即都存在，故在一致连续。(2)在内连续，且，故一致连续。（3）满足定理条件，故在区间内一致连续。例2.若在上连续，存在，则在上一致连续。证: 因为，由柯西准则，当s时，有. a 又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有 b 取则且时，由a, b俩式知.此即证在上一致连续.例3.求证：在上一致连续。证：因为在上连续，又由罗比塔法则可证。由上题得在一致连续。 例4已知在上连续，证明：存在。证： 由假设，对,都有故当时，有由柯西准则知 存在。例5.设在有限开区间上连续，证明：在上一致连续的充要条件是及都存在。证: 充分性，设, 规定 则在上连续，从而在上一致连续，所以在上一致连续。再证必要性，由上题可证存在，类似上题可证存在。例6.证明：如果一个函数在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数在闭区间里连续，并且对任何。证：由例5可知存在，存在，令则在里连续，且=，例7.讨论在上的一致连续性。解：因为 构造新函数则在上连续，从而一致连续，所以在上连续，从而一致连续所以在上连续，所以在其上一致连续。 主要结论与证明1.若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。证明：（用反证法）假设在上不一致连续，则某个正数，对任何正数，都对应的，虽然，但有。现以表示自然数，令，记与它相应的两点为，虽然，但有 (1)当取遍自然数时，得数列。由致密性定理,收敛子列，()。同时也有，且()。由(1)有 （2） 现让(2)式中，再由在连续性知，这与矛盾，所以在一致连续。2. 函数在开区间一致连续函数在开区间连续，且都存在。证明：(必要性) ，由上面证明已知在连续，又由的任意性知 在连续。下面只证存在，的证法与之类似。因为在一致连续，所以，有 。取，则当时，必有 ，也有，。由上式可以推出 ，由极限存在的柯西准则知 存在。(充分性) 令 则由在连续知，在连续从而一致连续。3.若在连续单调、有界，则函数在一致连续。证明：由单调有界性知，存在，由(3)知 在一致连续。4.若函数在上连续，且，则在一致连续。证明：由知，有 。所以，也有 。则。而是闭区间，所以在上一致连续。所以对上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。综上所述，在一致连续。对于5也可以改为在上连续，且，则在一致连续。证法类似，分别区间为，(，+)。则时，必同时在三个区间之一，所以在一致连续。5.在R上连续周期函数是一致连续函数。证明 设是一个